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1、专题四函数概念、基本初等函数及导数 专题检测选题明细表知识点方法A组B组集合与常用逻辑用语12,9复数1平面向量13不等式与线性规划5,156,7计数原理与概率9三角函数143立体几何815,16函数概念与性质2,4,6,7,10,155,8,12基本初等函数、二次函数、幂函数、分段函数3,11,124,10,14导函数相关的函数性质与综合问题1611,13,17,18A组一、选择题1.已知集合A=1,2,3,平面内以(x,y)为坐标的点集合B=(x,y)|xA,yA,x+yA,则B的子集个数为(D)(A)3(B)4(C)7(D)8解析:因为集合A=1,2,3,平面内以(x,y)为坐标的点集合
2、B=(x,y)|xA,yA,x+yA,所以B=(1,1),(1,2),(2,1),所以B的子集个数为23=8个.故选D.2.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(D)(A)-3,1(B)(-3,1)(C)(-,-31,+)(D)(-,-3)(1,+)解析:由题意,得x2+2x-30,解得x1或xbc(B)cba(C)cab(D)acb解析:因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x(-,0时,f(x)为减函数,所以f(x)在0,+)上为增函数,所以b=f(4)=f(-2)=f(2),又因为120.32ba.故选B.5.设x,y均为正数,且+=,则xy的最小值为(D)(A)1(
3、B)3(C)6(D)9解析:因为x,y均为正数,且+=,所以=,整理可得xy=x+y+3,由基本不等式可得xy2+3,整理可得()2-2-30,解得3或-1(舍去),所以xy9,当且仅当x=y时取等号.故选D.6.(2017绍兴二模)已知f(x)是定义在R上的单调递增函数,则下列四个命题:若f(x0)x0,则ff(x0)x0;若ff(x0)x0,则f(x0)x0;若f(x)是奇函数,则ff(x)也是奇函数;若f(x)是奇函数,则f(x1)+f(x2)=0x1+x2=0.其中正确的有(A)(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:对于,因为f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(x0)x0
4、,则ff(x0)f(x0)x0,故正确;对于,当ff(x0)x0时,若f(x0)x0,由f(x)是定义在R上的单调递增函数得ff(x0)f(x0)x0,与已知矛盾,故正确;对于,若f(x)是奇函数,则ff(-x)=f-f(x)=-ff(x),所以ff(x)也是奇函数,故正确;对于,当f(x)是奇函数,且是定义在R上的单调递增函数时,若f(x1)+f(x2)=0,则f(x1)=-f(x2)x1=-x2x1+x2=0;若x1+x2=0x1=-x2f(x1)=f(-x2)=-f(x2)f(x1)+f(x2)=0,故正确.故选A.二、填空题7.若实数ab1,且logab+logba=,则logab=,
5、=.解析:由题logab+=,则2(logab)2-5logab+2=0,又ab1,0logab1,所以logab=,=b,a=b2,即=1.答案:18.一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为,体积为.解析:由三视图可知,其直观图是底面ACED为直角梯形的四棱锥,侧棱BC底面ACED,如图所示.由图中数据可得,AB=BE=DE=2,DB=2.在BED中,由余弦定理可得cosBED=-,所以BED=120,SBED=BEDEsinBED=22=2.故该几何体的表面积S=SRtABC+SRtBCE+SRtABD+S梯形ACED+SBED=22+22+42+(2+4)2+2=10+4+2,体积
6、V=S梯形ACEDBC=62=4.答案:10+4+249.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.解析:因为XB(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:10.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,对xR都有f(x-1)=f(x+1)成立,当x(0,1且x1x2时,有0.给出下列命题:(1)f(1)=0;(2)f(x)在-2,2上有4个零点;(3)点(2 016,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心;(4)x=2 016是函数y=f(x)图象的一条对称轴.则正确的是.解析:对xR都有f(x
7、-1)=f(x+1)成立,令x=0得,f(-1)=f(1),因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,故(1)正确;又f(0)=0,令x=1得f(0)=f(2),所以f(2)=0,由奇函数得f(-2)=0,f(-1)=0,故(2)错误;由f(x-1)=f(x+1)得周期T=2,原函数图象的对称中心为(0,0),由周期性得点(2 016,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故(3)正确;原函数图象无对称轴,故(4)错误.所以正确的命题是(1)(3).答案:(1)(3)11.(2016江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,
8、1)上,f(x)=其中aR.若f(-)=f(),则f(5a)的值是.解析:由题意得f(-)=f(-)=-+a,F()=f()=|-|=,得-+a=,则a=,则f(5a)=f(3)=f(-1)=-1+a=-1+=-.答案:-12.(2017绍兴二模)已知函数f(x)=x3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是;函数f(x)在区间0,2内的值域是.解析:函数f(x)=x3-3x,切点坐标(0,0),f(x)=3x2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x;令3x2-3=0,可得x=1,x(-1,1),f(x)0,函数是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函
9、数f(x)在区间0,2内的值域是-2,2.答案:y=-3x-2,213.在ABC中,AB=4,AC=2,点P为BC边上靠近点B的三等分点,点O是ABC的外心,则的值为.解析:如图,取AB,AC的中点分别为D,E,则ODAB,OEAC.因为=+=+(-)=+,所以=(+)=+=|cosDAO+|cosEAO=|+|=|2+|2=6.答案:6三、解答题14.已知函数f(x)=sin xcos x-+cos2x(0)的最小正周期为.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若a,b,c分别为ABC的三内角A,B,C的对边,角A是锐角,f(A)=0,a=1,b+c=2,求ABC的面积.解:(1)f(x)=
10、sin xcos x-+cos2x=sin 2x-+=sin(2x+),所以T=,从而得到=1,所以f(x)=sin(2x+).由2k-2x+2k+(kZ)可得k-xk+(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-,k+(kZ).(2)因为f(A)=0,所以sin(2A+)=0,又角A是锐角,所以2A+0,即a-1时,当0x1+a时,h(x)1+a时,h(x)0.当a+10,即a-1时,h(x)0恒成立,h(x)在(0,+)上单调递增.综上,当a-1时,h(x)的单调递减区间为(0,1+a),单调递增区间为(1+a,+).当a-1时,h(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间.(2)由题
11、意可知,不等式f(x)g(x)在区间1,e的解集为非空集合,即在1,e存在x0使得f(x0)g(x0)成立,由(1)中h(x)=f(x)-g(x),则在1,e存在x0使得h(x0)=f(x0)-g(x0)0,即函数h(x)=x-aln x+在1,e上的最小值h(x)min0.由(1)知,当a-1时,h(x)在1,e上单调递增.所以h(x)min=h(1)=2+a0,即a-2.当a-1时,若a+1e,即ae-1时,h(x)在1,e上单调递减,则h(x)min=h(e)=e+-a0,所以a.又因为e-1.所以a.当0a+11,即-1a0时,h(x)在1,e上单调递增,h(x)min=h(1)=2+a0.此时a-2无解.当1a+1e,即0a0.不合题意.综上可得,实数a的取值范围为,+)(-,-2.16.(2017台州期末)设函数f(x)=(x2-x+1)e-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x0,2时,f(x)-x2+2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为x|xR,f(x)=-(x-2)(x-1)e-x,e-x0,令f(x)0,解得x2,f(x)为减函数,令f(x)0,解得1x2,f(x)为增函数,所以f(x)的单调递减区间为(-,1),(2,+),
