《八年级数学下册第一部分基础知识篇第4课一元二次方程根与系数关系及其应用一元二次方程例题课件新版浙教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册第一部分基础知识篇第4课一元二次方程根与系数关系及其应用一元二次方程例题课件新版浙教版（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重点中学与你有约 例1 已知方程的两根为 不解方程 求 解题技巧 由根与系数的关系得 例1 已知方程的两根为 不解方程 求 举一反三 思路分析 先根据根与系数的关系得到 3 1 利用代数式变形得到包含 和 的式子 然后利用整体代入的方法计算 已知方程x2 3x 1 0的两根实数根为 不解方程 求下列各式的值 1 2 2 2 3 3 3 4 1 1 失误防范 1 一元二次方程根与系数的关系 如果x1 x2是一元一次方程ax2 bx c 0的两根 那么 2 一些有用的结论 在求值时一些常见的变形 例2 若关于x的一元二次方程的两实根的平方和为2 求m的值 重点中学与你有约 解题技巧 设方程的两实根
2、为x1 x2 则 例2 若关于x的一元二次方程的两实根的平方和为2 求m的值 当m 3时 b2 4ac 16 28 0 方程无实根 舍去 当m 3时 b2 4ac 4 4 0 故m的值是 3 举一反三 思路分析 1 根据题意可知一元二次方程 必须满足下列条件 二次项系数不为零 在有实数根下必须满足 b2 4ac 0 代入数值解不等式即可 2 由题意设方程x2 2k 1 x k2 2 0两根为x1 x2 得x1 x2 2k 1 x1 x2 k2 2 然后再根据两实根的平方和等于11 从而解出k值 已知关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 2 0有实根 1 求k的取值范围 2 若方程的两实
3、根的平方和等于11 求k的值 失误防范 1 一元二次方程根与系数的关系 如果x1 x2是一元一次方程ax2 bx c 0的两根 那么 2 两根平方和的应用 利用两根的和与两根的积表示两根的平方和 把求未知系数的问题转化为解方程的问题 例3 设x1 x2是一元二次方程的两个实根 且则a 重点中学与你有约 解题技巧 因为x2是一元二次方程的根 因为x1 x2是一元二次方程的两个实根 所以 6 a 4 得a 10 故答案为10 例3 设x1 x2是一元二次方程的两个实根 且则a 举一反三 思路分析 由根与系数的关系得到x1x2 2014 x2是一元二次方程x2 3x 2014 0的根 得出x22 3
4、x2 2014 整体代入a x1 x22 4x2 2014 1 进一步求得答案即可 设x1 x2是一元二次方程x2 3x 2014 0的两个不相等的实根 且a x1 x22 4x2 2014 1 则a 失误防范 1 一元二次方程根与系数的关系 如果x1 x2是一元一次方程ax2 bx c 0的两根 那么 2 关于两根非对称式的值 关于方程两根非对称式的代数式的值一般要同时结合方程根的定义和根与系数的关系来求解 例4 已知x1 x2是一元二次方程的两个实根 1 是否存在实数a 使成立 若存在求出a的值 若不存在 请说明理由 2 求使为负整数的实数a的整数值 重点中学与你有约 解题技巧 1 根据题
5、意得 由根与系数的关系得 经检验a 24是上面方程的解 所以存在实数a 使式子成立 a 24 例4 已知x1 x2是一元二次方程的两个实根 1 是否存在实数a 使成立 若存在求出a的值 若不存在 请说明理由 2 求使为负整数的实数a的整数值 由 2 为负数 则6 a为 1或 2或 3或 6 解得a 7或8或9或12 举一反三 思路分析 1 假设存在实数k 使得x1 3x2 根据根的判别式可得出 16k 进而可得出k 0以及x1 x2的值 再根据x1 3x2即可得出关于k的分式方程 解方程并检验后即可得出结论 2 由根与系数的关系 代入数据即可找出k的值 再由分母不能为0即可得出结论 已知x1
6、x2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实根 1 是否存在实数k 使得x1 3x2成立 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 2 求使的值为整数的实数k的整数值 失误防范 1 一元二次方程根与系数的关系 如果x1 x2是一元一次方程ax2 bx c 0的两根 那么 2 求含未知数的一元二次方程中未知数的值 首先要确定判别式的情况 然后再根据根与系数的关系以及求根公式找出关于未知数的方程是解题的关键 例5 关于x的一元二次方程x2 m 3 x m2 0 1 证明 方程总有两个不相等的实数根 2 设这个方程的两个实数根为x1 x2 且 x1 x2 2 求m的值及方程的根 重点中学与
7、你有约 解题技巧 1 证明 m 3 2 4m2 5m2 6m 9 5 m 2 无论m取何值5 m 2 0 5 m 2 0 原方程总有两个不相等的实数根 5 关于x的一元二次方程x2 m 3 x m2 0 1 证明 方程总有两个不相等的实数根 2 设这个方程的两个实数根为x1 x2 且 x1 x2 2 求m的值及方程的根 解题技巧 2 x1 x2是原方程的两根 x1 x2 m 3 x1x2 m2 x1 x2 2 x2 x1 2 两边平方得 x12 x22 2 x1x2 4 即 x1 x2 2 2x1x1 2 x1x2 4 m 3 2 2 m2 2 m2 4 即 m 3 2 4 解得m 5或m 1
8、 当m 5时 方程为x2 2x 25 0 解得x1 1 x2 1 当m 1时 方程为x2 2x 1 0 解得x1 1 x2 1 已知关于x的一元二次方程x2 m 2 x m 1 0 1 求证 无论m取何值时 方程总有两个不相等的实数根 2 若这个方程的两个实数根为x1 x2 满足x12 x22 41 求m的值 举一反三 思路分析 1 由于无论m取何值时 方程总有两个不相等的实数根 所以证明判别式是正数即可 2 利用根与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形 结合前面的等式即可求解 答案 1 m 2 2 4 m 1 m2 4m 4 4m 4 m2 8 0 无论m取何值时 方程总有
9、两个不相等的实数根 2 这个方程的两个实数根为x1 x2 x1 x2 m 2 x1 x2 m 1 而x12 x22 41 x1 x2 2 2x1 x2 41 m 2 2 2m 2 41 m2 4m 4 2m 39 0 m2 2m 35 0 m 5或7 失误防范 1 根的判别式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与 b2 4ac有如下关系 1 0 方程有两个不相等的实数根 2 0 方程有两个相等的实数根 3 0 方程没有实数根 2 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 失误防范 3 根与系数关系使用的前提是
10、 1 是一元二次方程 即a 0 2 方程为一般形式 即形如 ax2 bx c 0 3 判别式大于等于零 即b2 4ac 0 例6 重点中学与你有约 解题技巧 1 由已知条件可知 a b 是方程的两个相异实根 解题技巧 举一反三 阅读下面的材料 如果关于x的方程ax2 bx c 0 a 0 有两个实数根x1 x2 则综合得 若方程ax2 bx c 0 a 0 有两个实数根x1 x2 则有x1 x2 x1x2 请利用这一结论解决问题 1 方程x2 bx c 0的两根为 1和3 求b与c的值 2 设方程2x2 3x 1 0的两根为x1 x2 求以及2x12 2x22的值 举一反三 思路分析 1 根据
11、两根之和等于 b 两根之积等于c求解 2 应把所求的代数式整理为和根与系数的关系有关的式子求解 失误防范 1 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 说明 1 定理成立的条件 0 2 注意公式中x1 x2 的负号与b的符号的区别 失误防范 2 根与系数关系应用 直接运用根与系数的关系 验根 已知方程的一个根求另一个根及未知数 已知两根求作一元二次方程 求关于两根的对称式或代数式的值 解简单的应用问题 3 解决此类型题目的技巧 本题解题时关键是读懂题意 理解已知中叙述的方程的解与方程的根之间的关系 把所求的代数式整理成用
12、两根的和与两根的积表示的形式 例7 已知关于x的一元二次方程x2 2x a2 a 0 a 0 1 证明 这个方程的一个根比2大 另一个根比2小 2 若对于a 1 2 2004 相应的一元二次方程的两个根分别为 1 1 2 2 2004 2004 求的值 重点中学与你有约 解题技巧 1 设方程的两根为x1 x2 由根与系数的关系得x1 x2 2 x1x2 a2 a a 0 x1 2 x2 2 x1x2 2 x1 x2 4 a2 a 4 4 a2 a 0 x1 2与x2 2异号 即x1与x2中一个比2大 一个比2小 2 当a 1 2 2004时对应的方程分别为x2 2x 2 0 x2 2x 6 0
13、 x2 2x 2004 2005 0 由一元二次方程根与系数的关系 有 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 6 2004 2004 2 2004 2004 2004 2005 解题技巧 已知n为正整数 二次方程x2 2n 1 x n2 0的两根为 n n 求下式的值 举一反三 举一反三 思路分析 根据根与系数关系得 n n和 n n的值 把分母展开代值找规律计算 答案 由韦达定理 有 n n 2n 1 n n n2 于是 对正整数n 3 有 失误防范 1 探索规律型问题 近年来 中考试题中频频出现探索规律型问题 即在一定的条件状态下 探索有关数学对象所具有的规律性或不变性 这类题主要考查学生的合情推理能力和探索能力 一般来说 规律性问题有下列几类 数字中找规律 图形中找规律 数字与图形相结合中找规律 动态中找不变的规律 失误防范 2 解答探索规律型问题技巧 解答探索规律型问题 必须在认真审题的基础上 通过归纳 想象 猜想来进行规律的探索 在探索和递推时 往往是从少到多 从简单到复杂 或从特殊 简单的情况入手 通过比较和分析 找出每次变化过程中具有的规律性的东西 找到解题方法
