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1、1（1）尝试探究如图，在ABC中，点、分别是边、上的点，且.的值为多少；直线与直线的位置关系；（2）类比延伸如图，若将图中的CEF绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线 与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用若，在旋转过程中，当，三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长.2尝试探究如图-，在ABC中，C=90，A=30，点E、F分别是BC、AC边上的点，且EF/BC. 的值为 ；直线与直线的位置关系为 ；类比延伸如图，若将图中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；拓展运用若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写
2、出此时线段的长.3综合与实践数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形，其中，连接，、分别为边、的中点，连接、.操作发现：小红发现了：、有一定的关系，数量关系为_；位置关系为_. 类比思考：如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形绕点旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接、并延长交于一点）深入探究：在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形，其中，在三角形外侧以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，分别取斜边、与边的中点、，连接、，试判断三角形的形状，并说明理由. 4如图1，在
3、正方形ABCD内有一点P，PA=3，PB=2，PC=1，求BPC的度数分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了BPA（如图2），然后连结PP，这时再分别求出BPP和APP的度数解答：（1）请你根据以上分析再通过计算求出图2中BPC的度数； （2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=4，PC=2，求BPC的度数5类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线
4、CD于点G，若=3，求的值（1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a0，b0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）6阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法. 如图1，在等腰ABC中，AB=AC， AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到
5、腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用SABC=SABMSACM，可以得出结论：h= h1h2.类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y =x+3，l2：y =3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用 “阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标.7（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点是等边三角形内一点，.求的度数.为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转得，连接，则的长为_；在中，易证，且的度数为_，综上可得的度数为_；（2）类比
6、迁移如图，点是等腰内的一点，.求的度数；（3）拓展应用如图，在四边形中，请直接写出的长.8通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合。ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线。根据，易证AFG，得EF=BE+DF。（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90，点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45。若B、D都不是直角，
7、则当B与D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF。（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。9（1）如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC5，MPN90，且MPN的直角顶点在BC边上，BP1特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则 类比探究：如图2，将MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（2）拓展探究：在RtABC中，ABC90，ABBC2，ADAB，A的半径
8、为1，点E是A上一动点，CFCE交AD于点F请直接写出当AEB为直角三角形时的值10如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点（1）观察猜想：将图1中的BCD绕点O逆时针旋转至图2中ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是 ，直线AC与DE的位置关系是 （2）类比探究：将图2中的ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由（3）拓展延伸：将图2中的ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB4，请直接写出BM的最大值与最小值11已知：等边ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（
9、如图1），AD+AE的值为 ；类比探究在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；拓展迁移如图3，ABC中，AB=BC，ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在PDE中，PD=PE，DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论12（问题提出）如图，已知ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不
10、变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由13类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形（）如图，四边形中， 平分， 求证：四边形为等邻边四边形（）如图， 中， ， ， ，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离（）如图，在等邻边四边形中， ， ， 和为四边形对角线， 为等边三角形，试探究和的数量关系14（操作发现）如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD
11、45，连接AC，BD交于点MAC与BD之间的数量关系为 ；AMB的度数为 ；（类比探究）如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数；（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中ACBDCE90，AD30且D、E、B在同一直线上，CE1，BC ，求点A、D之间的距离15（1）【特殊发现】如图1，ABBC于B,CDBC于C,连接BD,过A作AFBD,交BD于E,交BC于F,若BF=1，BC=3，则ABCD= ；（2）【类比探究】如图2，在线段BC上存在点E,F，连
12、接AF,DE交于点H，若ABC=AHD=ECD,求证：ABCD=BFCE；（3）【解决问题】如图3，在等腰ABC中，AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DMBC,在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H,使FHC=ABC,问：DFBC是否为定值？若是，请求出，若不是，请说明理由.16问题发现已知：如图1，等边三角形A1A2A3，点P是A1A2下方的任意一点，A1PA3A1PA260，可证：PA1+PA2PA3，从而得到是定值（1）这个定值是 （2）请写出上述证明过程类比探究如图2，把（1）中条件“等边三角形A1A2A3，A1PA3A3PA260，”改为“正方形A2A1A3
13、A4，A1PA4A4PA3A3PA245，”其余条件不变（3）请问：还是定值吗？（4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由17问题引入：如图，在ABC中，D是BC上一点，AE=13AD，求S四边形ABECSABC：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有EGAF=23，SBCESABC=23，S四边形ABECSABC=13类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC与SABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明拓展应用：如图，E为ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求AEAD+BE
14、BF+CECG的值18【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由19（）如图1，在等边中，点是上的任意一点（不含端点, ），连结，以为边作等边，并连结求证： （）【类比探究】如图2，在等边中，若点是延长线上的任意一点（不含端点），其它条件不变，则是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出, , 三者间的数量关系，并给予证明（）【拓
