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1、1(1)尝试探究如图,在ABC中,点、分别是边、上的点,且.的值为多少;直线与直线的位置关系;(2)类比延伸如图,若将图中的CEF绕点顺时针旋转,连接,则在旋转的过程中,请判断的值及直线 与直线的位置关系,并说明理由;(3)拓展运用若,在旋转过程中,当,三点在同一直线上时,请直接写出此时线段的长.2尝试探究如图-,在ABC中,C=90,A=30,点E、F分别是BC、AC边上的点,且EF/BC. 的值为 ;直线与直线的位置关系为 ;类比延伸如图,若将图中的绕点顺时针旋转,连接,则在旋转的过程中,请判断的值及直线与直线的位置关系,并说明理由;拓展运用若,在旋转过程中,当三点在同一直线上时,请直接写
2、出此时线段的长.3综合与实践数学活动课上,小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形,其中,连接,、分别为边、的中点,连接、.操作发现:小红发现了:、有一定的关系,数量关系为_;位置关系为_. 类比思考:如图2,在图1的基础上,将等腰直角三角形绕点旋转一定的角度,其它条件都不变,小红发现的结论还成立吗?请说明理由.(提示:连接、并延长交于一点)深入探究:在上述类比思考的基础上,小红做了进一步的探究.如图3,作任意一个三角形,其中,在三角形外侧以为腰作等腰直角三角形,以为腰作等腰直角三角形,分别取斜边、与边的中点、,连接、,试判断三角形的形状,并说明理由. 4如图1,在
3、正方形ABCD内有一点P,PA=3,PB=2,PC=1,求BPC的度数分析:根据已知条件比较分散的特点,我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是将BPC绕点B逆时针旋转90,得到了BPA(如图2),然后连结PP,这时再分别求出BPP和APP的度数解答:(1)请你根据以上分析再通过计算求出图2中BPC的度数; (2)如图3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=4,PC=2,求BPC的度数5类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整原题:如图1,在ABCD中,点E是BC边上的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线
4、CD于点G,若=3,求的值(1)尝试探究在图1中,过点E作EHAB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ,CG和EH的数量关系是 ,的值是 (2)类比延伸如图2,在原题的条件下,若=m(m0),则的值是 (用含m的代数式表示),试写出解答过程(3)拓展迁移如图3,梯形ABCD中,DCAB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F,若=a,=b(a0,b0),则的值是 (用含a,b的代数式表示)6阅读理解:运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立,这种解决问题的方法我们称之为面积法. 如图1,在等腰ABC中,AB=AC, AC边上的高为h,点M为底边BC上的任意一点,点M到
5、腰AB、AC的距离分别为h1、h2,连接AM,利用SABC=SABMSACM,可以得出结论:h= h1h2.类比探究:在图1中,当点M在BC的延长线上时,猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.拓展应用:如图2,在平面直角坐标系中,有两条直线l1:y =x+3,l2:y =3x+3,若l2上一点M到l1的距离是1,试运用 “阅读理解”和“类比探究”中获得的结论,求出点M的坐标.7(1)阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图,点是等边三角形内一点,.求的度数.为利用已知条件,不妨把绕点顺时针旋转得,连接,则的长为_;在中,易证,且的度数为_,综上可得的度数为_;(2)类比
6、迁移如图,点是等腰内的一点,.求的度数;(3)拓展应用如图,在四边形中,请直接写出的长.8通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。(1)思路梳理AB=CD,把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,可使AB与AD重合。ADC=B=90,FDG=180,点F、D、G共线。根据,易证AFG,得EF=BE+DF。(2)类比引申如图2,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90,点E、F分别在边BC、CD上,EAF=45。若B、D都不是直角,
7、则当B与D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF。(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且DAE=45。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。9(1)如图1,在矩形ABCD中,AB2,BC5,MPN90,且MPN的直角顶点在BC边上,BP1特殊情形:若MP过点A,NP过点D,则 类比探究:如图2,将MPN绕点P按逆时针方向旋转,使PM交AB边于点E,PN交AD边于点F,当点E与点B重合时,停止旋转在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由(2)拓展探究:在RtABC中,ABC90,ABBC2,ADAB,A的半径
8、为1,点E是A上一动点,CFCE交AD于点F请直接写出当AEB为直角三角形时的值10如图1,在正方形ABCD中,点O是对角线BD的中点(1)观察猜想:将图1中的BCD绕点O逆时针旋转至图2中ECF的位置,连接AC,DE,则线段AC与DE的数量关系是 ,直线AC与DE的位置关系是 (2)类比探究:将图2中的ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由(3)拓展延伸:将图2中的ECF在平面内旋转,设直线AC与DE的交点为M,若AB4,请直接写出BM的最大值与最小值11已知:等边ABC的边长为4,点P在线段AB上,点D在线段AC上,且PDE为等边三角形,当点P与点B重合时(
9、如图1),AD+AE的值为 ;类比探究在上面的问题中,如果把点P沿BA方向移动,使PB=1,其余条件不变(如图2),AD+AE的值是多少?请写出你的计算过程;拓展迁移如图3,ABC中,AB=BC,ABC=a,点P在线段BA延长线上,点D在线段CA延长线上,在PDE中,PD=PE,DPE=a,设AP=m,则线段AD、AE有怎样的等量关系?请用含m,a的式子直接写出你的结论12(问题提出)如图,已知ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明:AB=DB+AF(类比探究)(1)如图,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不
10、变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由13类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形()如图,四边形中, 平分, 求证:四边形为等邻边四边形()如图, 中, , , ,将沿的平分线的方向平移,得到,连接、,若平移后的四边形是等邻边四边形,求平移的距离()如图,在等邻边四边形中, , , 和为四边形对角线, 为等边三角形,试探究和的数量关系14(操作发现)如图(1),在OAB和OCD中,OAOB,OCOD,AOBCOD
11、45,连接AC,BD交于点MAC与BD之间的数量关系为 ;AMB的度数为 ;(类比探究)如图(2),在OAB和OCD中,AOBCOD90,OABOCD30,连接AC,交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数;(实际应用)如图(3),是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形,其中ACBDCE90,AD30且D、E、B在同一直线上,CE1,BC ,求点A、D之间的距离15(1)【特殊发现】如图1,ABBC于B,CDBC于C,连接BD,过A作AFBD,交BD于E,交BC于F,若BF=1,BC=3,则ABCD= ;(2)【类比探究】如图2,在线段BC上存在点E,F,连
12、接AF,DE交于点H,若ABC=AHD=ECD,求证:ABCD=BFCE;(3)【解决问题】如图3,在等腰ABC中,AB=AC=4,E为AB中点,D为AE中点,过点D作直线DMBC,在直线DM上取一点F,连接BF交CE于点H,使FHC=ABC,问:DFBC是否为定值?若是,请求出,若不是,请说明理由.16问题发现已知:如图1,等边三角形A1A2A3,点P是A1A2下方的任意一点,A1PA3A1PA260,可证:PA1+PA2PA3,从而得到是定值(1)这个定值是 (2)请写出上述证明过程类比探究如图2,把(1)中条件“等边三角形A1A2A3,A1PA3A3PA260,”改为“正方形A2A1A3
13、A4,A1PA4A4PA3A3PA245,”其余条件不变(3)请问:还是定值吗?(4)如果是,请直接写出这个定值;如果不是,请说明理由17问题引入:如图,在ABC中,D是BC上一点,AE=13AD,求S四边形ABECSABC:尝试探究:过点A作BC的垂线,垂足为F,过点E作BC的垂线,垂足为G,如图所示,有EGAF=23,SBCESABC=23,S四边形ABECSABC=13类比延伸:若E为AD上的任一点,如图所示,试猜S四边形ABEC与SABC的比是图中哪条线段的比,并加以证明拓展应用:如图,E为ABC内一点,射线AE于BC于点D,射线BE交AC于点F,射线CE交AB于点G,求AEAD+BE
14、BF+CECG的值18【提出问题】(1)如图1,在等边ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边AMN,连结CN求证:ABC=ACN【类比探究】(2)如图2,在等边ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论ABC=ACN还成立吗?请说明理由【拓展延伸】(3)如图3,在等腰ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰AMN,使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系,并说明理由19()如图1,在等边中,点是上的任意一点(不含端点, ),连结,以为边作等边,并连结求证: ()【类比探究】如图2,在等边中,若点是延长线上的任意一点(不含端点),其它条件不变,则是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出, , 三者间的数量关系,并给予证明()【拓