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1、,第8章 矩阵特征值及特征向量的计算,数值计算方法矩阵特征值及特征向量的计算电子科技大学物理电子学院 赖生建,,主要内容,问题的提出按模最大最小特征值计算计算实对称矩阵的雅克比法QR 法,1.问题的提出,在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组的特性就是其系数矩阵的特征，即求矩阵计算矩阵的特征值及其特征向量。如波导模式问题其特征值就是代数方程,,a11x1+ a12x2+ a1nxn = b1a21x1+ a22x2+ a2nxn = b2an1x1+ an2x2+ annxn = bn,()是关于的n次多项式 也称为矩阵A特征方程。它的n个根，称为A的特征值。是A的特征值时，相应的方程 的
2、非零解x，称为对应特征值的特征向量。,,1.问题提出,问题：当A的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求解特征方程也困难。有些问题只要求最大特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。,,1.问题提出,2.按模最大最小特征值求法,迭代计算方法。幂法是求解最大特征值及特征向量的方法。设n阶矩阵有n个线性无关的特征向量x1, x2, xn，对应的特征向量1,2,n，并按模的大小排列有2种情况讨论。,,（1）任取初始向量v0，由矩阵A的n个线性无关的特征向量线性表示设a1不等于0，从v0出发做一系列迭代,,2.最大最小模,(1)幂法,,2.最大最小模,(1)幂法
3、,具体计算1主要求矩阵A的幂Ak与已知向量v0的乘积，故称幂法。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于下面的比值因反复计算A与向量Ak-1v0的乘积，会出现各分量值过大或过小，计算机会溢出。如何解决？,,2.最大最小模,(1)幂法,方法：采用迭代向量“归一化”，即把迭代向量的最大分量归一化为1。计算步骤：任取一个初始向量构造迭代序列取,,2.最大最小模,(1)幂法,例1：用幂法计算矩阵 模最大的特征值及其对应的特征向量解：,,2.最大最小模,(1)幂法,（2）迭代序列,,2.最大最小模,(1)幂法,,2.最大最小模,(1)幂法,说明三个向量大体上线性相关,,2.最大最小模,(1)幂法,上式方程的
4、左边可以作为1,2的特征向量。说明：不止两种情况，根据计算来判定初始向量的选取对迭代次数有影响。幂法的收敛速度是 决定的，当接近1时，收敛很慢，需要加速。思路：通过矩阵A的特征值对应的特征向量组进行规范化正交组。,,2.最大最小模,(1)幂法,即称为Rayleigh商，并有用幂法计算特征根1，已经迭代到第k次,,2.最大最小模,(1)幂法,对uk做一次Rayleigh商,,2.最大最小模,(2)反幂法,设矩阵A是非奇异阵，则0不是A的特征值。则A-1存在A-1的特征值有A-1主特征值为1/ 1及特征向量xn，就是A求模的最小特征值，用A-1代替A做幂法，叫反幂法,,2.最大最小模,(2)反幂法
5、,任给初始向量v0迭代计算A-1是不容易的事，可写成采用归一化处理，步骤每进行1次迭代，需要计算方程组 计算量很大，事先A进行LU分解。,,2.最大最小模,(2)反幂法,例2：用反幂法计算矩阵 模最小的特征值及其对应的特征向量解：矩阵A的LU分解 取初始向量,3.实对称矩阵特征值的雅克比法,雅克比法是计算实对称矩阵的特征值及特征向量的主要迭代方法，其理论依据：对n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵R，使如何找合适的正交阵R？,,最简单的实例分析。一条二次曲线坐标轴的旋转上面方程矩阵形式,,3.雅克比法,其中如果令得到的值,,3.雅克比法,得到比较两矩阵其中,,3.雅克比法,推广到一般情况，例举一
6、个实例说明例3 椭球 与坐标平面OX1X2的交线是 如果OX1 ,OX2轴旋转/4，得到二次椭圆曲线,,3.雅克比法,椭球经过旋转变换后，得到新方程变换前后方程写成矩阵形式,,3.雅克比法,经过变换后，矩阵A的变化情况：对角线元素的平方和由19增加到27.非对角线元素的平方和由10.5减少到2.5，矩阵所有元素的平方和未变。但转换后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘积项，用类似的方法再次变换，如与O y2y3平面相截,,3.雅克比法,椭圆方程转换为：二次型矩阵对角线元素的平方和不断增加（27.25）非对角线元素的平方和不断减少（2.25）,,3.雅克比法,雅克比法的基本思想,设A=(aij)
7、为n阶实对称矩阵R(i,j)为平面旋转阵，记为R1. 记,,3.雅克比法,平面旋转阵R(i,j)有如下性质R1TR1=I，即R1是正交阵如果A是对称阵，则(R1TAR1)T=R1ATR1=R1AR1, A1=R1AR1是对称矩阵，说明对称矩阵经过正交变换后仍然是对称阵。矩阵A经过变换后的A1第i,j行列元素的变化如下,3.雅克比法,如果取使得即同样可以验证：,3.雅克比法,,如果取 大于或等于A非对角线元素的绝对值通过一次变换，非对角线元素的平方和说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过 当经过k次迭代后对角线元素的平方和A变成对角阵,3.雅克比法,,雅克比法的计算步骤：找出A矩阵非对角元素绝
8、对值最大的元素aij，确定i，j用公式计算tan2，计算sin及cos计算以A1代入A，重复上面步骤，直到,3.雅克比法,,Ak对角元素就是特征值，逐次变换矩阵Rk的乘机其列向量即所求的特征向量。具体计算：,3.雅克比法,,例4 用雅克比法求对称矩阵 的特征值及特征向量。解：,3.雅克比法,,3.雅克比法,,4.QR方法,对任意非奇异矩阵A，可以分解成一个正交阵Q和一个上三角阵R的乘积，称为A的QR分解。如R的对角元是正实数，分解是唯一的。若A是奇异的，则A有零特征值，取一个不等于A特征值的，则A- I是非奇异的。QR方法的基本过程：A=A1，对A1进行QR分解交换次序R1Q1为A2 是正交相
9、似变换，有相同的特征值。,,非奇异矩阵A，借助施密特正交化过程，实行A的QR分解。记A的n个列为,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,正交性且范数为1正交规范向量，从上式依次计算,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,记,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,例5 对A作QR分解解：,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,记,,4.QR方法,(1)矩阵A的QR分解,A为n*n非奇异矩阵，设A1=A设A的n个特征值满足条件当 ，矩阵序列Ak收敛与三角阵R，于是R对角线上的元素就是所求特征值，当A是对称矩阵时，Ak收敛于对角阵。,,4.QR方法,(2) QR算法,改写公式,,4.QR方法,(2) QR算法,递推公式,,4.QR方法,(2) QR算法,
