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1、高二数学同步辅导讲义分类计数原理与分步计算原理一、主要内容1、 理解分类计数原理及分步计数原理2、 能用两个基本原理解题二、学习指导1、分类计数原理。一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种方法利用分类计数原理的关键是根据完成事情方法的独立性进行分类。对事物进行适当的分类是人们研究复杂事物常用用的方法，分类的基本要求是既不重复也不遗留，即每个研究对象当且仅当属于其中一类，在每一次分类中，标准要统一，更为复杂的问题，往往要分级讨论。使用分类计数原理时，就要恰当地分类，分类的标准是每
2、一类的每一种方法都能独立完成某件事，这些方法之间相互没有影响。分类计数原理又称为加法原理。2、分步计数原理。一件事，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有 N=m1m2mn种使用分步计数原理的关键是根据完成事情的要求，确定所必须经过的步骤。这n个步骤缺不可，当且仅当这n个步骤连续完成之后，这件事情才算完成。3、 两个原理的比较共同点：两个原理都是计算完成某项工作的方法种数，最后的目的都必须完成某件事。不同点：分类计数原理的特点是完成一件事的各种方法是互相独立，互不影响的，其中任何一种方法都能完成这件事。分步计数原理的特点是完成一
3、件事必须分成若干步骤，缺少其中一步都不能完成这件事。归纳起来，分类计数原理针对的是“分类问题”，任何一种方法都能独立的、一次性完成一件事。从集合的角度看，若每一类作为一子集，则所有分类子集的并集应为全集，任两个分类子集的交集为空集。分步计数原理针对的是“分步问题”，一件事必须连续地、多次地完成。4、如何运用两个基本原理 （1）审清题意，首先要弄清是完成怎样的事件；其次分析完成这件事可以采用什么方法；再适当分类，在每一类中看需要是否适当分步。 （2）如果用分类计算原理，应根据具体问题特征确定一个分类标准，使得满足完成这件事的任何一种方法必定属于某一类；当然分别属于不同两类的两种方法应该也是不同的
4、。如果用分步计数原理，必须根据问题特征进行合理的分步，使得完成这件事必需且只需连续完成这n步，且两个不同步骤中的两种方法应是无关的。 （3）在研究乘法原理时，可借助于“树图”来直观地理解题意，帮助解题。 三、典型例题例1、 在平面直角坐标系内，点P（x，y）的横、纵坐标均在0，1，2，3内取值（1） 不同的P点共有多少个？（2） 在坐标轴上的P点共有多少个？（3） 不在坐标轴上的点共有多少个？解题思路分析： （1）确定点P坐标必须分两步，即分步完成横坐标与纵坐标的确定：第一步确定横坐标，有4种方法，即从0，1，2，3四个数字中选一个；第二步确定纵坐标，也可从0，1，2，3四个数字中选一个，也有
5、四种方法。根据乘法原理，所有不同的P点个数为： N=44=16（种） （2）因坐标轴分横轴及纵轴，所以首先对点P分类讨论。注意到原点的特殊性，应分三类：第一类，点P横、纵坐标均为0，只有一种情况P（0，0）；第二类，点P横坐标为0，纵坐标不为0，纵坐标只能从1，2，3三个数中取，共有3种情况；第三类，点P纵坐标为0，横坐标不为0，同第二类，也有3种情况。根据加法原理，满足条件点P共有： N=1+3+3=7（种） （3）法一：直接法。分两步分别确定横坐标与纵坐标，它们只能从1，2，3三个数字中有，各有3种情况，根据乘法原理 N=33=9法二：间接法。根据是否在坐标轴上分成两类讨论：第一类，点P在
6、坐标轴上，由（2）知，共有7个；第二类，点P不在坐标轴上，设为x个则x+7=16 x=9评注：间接法的原理也可以称之为减法原理例2、某市电话号码由7位数字组成，其中前两位数字是统一的，后五位数字都是0到9之间的一个数字，那么末位数字为8的电话号码至多有多少个？解题思路分析：本题只要考虑从第3至第6位这四个数字的取法，因每一个数字都可以从09这10个数字中取一个，有10种方法，所以根据乘法原理，共有 N=10101010=10000（种） 满足条件的电话号码至多有104个例3、将3名同学安排到2个工厂里去实习，问共有多少种不同的分配方案？解题思路分析：法一：把同学作为研究对象，分三步，每一步都有
7、两种方法，根据乘法原理 共有N=222=8（种）分配方案法二：将工厂作为研究对象，对分配到甲厂的人数进行分类讨论：第一类，没有人分配，只有一种分法；第二类，分配人数为1，有3种分法；第三类，分配人数为2，有3种分法（如记三名同学为A、B、C，则有A与B，A与C，B与C 3种分法）；第四类，所分人数为3，只有1种分法。根据加法原理，共有 N=1+3+3+1=8（种）评注：排列组合的知识可以优化为思维方法。同学们在解题过程中，应习惯变换思想问题的角度，一题多解，培养自己的思维能力。例4、乘积(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4+y5)(z1+z2+z3+z4+z5+z6)展开后共有多
8、少项？解题思路分析：根据乘法的分配律，展开式的每一项是从三个数集 x1，x2，x3，x4，y1，y2，y3，y4，y5，z1，z2，z3，z4，z5，z6中各取一个相乘而得到的。所以这是一个必须分步完成的问题，需分三步，要用分步计数原理。这三步中分别有4，5，6种方法 共有N=456=120（种）例5、已知a3，4，6，b1，2，7，8，r8，9，求方程(x+a)2+(y+b)2=r2可表示不同的个数。解题思路分析：对于每一组a、b、r，方程(x+a)2+(y+b)2=r2都表示一个圆，故方程(x+a)2+(y+b)2=r2表示圆的个数等于a、b、r取值的组数。确定a、b、r的一组值需分三步：
9、第一步定a，有3种方法；第二步定b，有4种方法，第三步定r，有2种方法。根据分步计数原理，共有： N=342=24（种）例6、从1到10的正整数中，每次取出两个数，使其和小于10，求不同的取法种数。解题思路分析：首先根据任意两个数的和与10的大小进行分类，将1到10的正整数分成两个集合：A=1，2，3，4，5，B=6，7，8，9，10其次根据条件要求将取法分成三类：第一类：集合A中任取两个元素，共有10种取法；第二类：从集合A、B中各取一个元素。如果A中取1，则B中有3种方法；如果A中取2，B中有2种方法；如果A中取3，则B中只有一种，由分类计数原理共有6种方法 根据分类计数原理，共有10+6
10、=16（种）同步练习（一） 选择题 1、5名同学报名参加数学、语文、外语竞赛，每人必须且仅报一科，则不同的报名方法种A、35 B、53 C、60 D、202、从3名女同学与2名男同学中选一人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为A、2 B、3 C、5 D、63、用10元、5元和1元三种面值钱币支付20元，不同的支付方法有A、6种 B、7种 C、8种 D、9种4、若一个乒乓球队里有男队员5人，女队员6人，从中选出男女队员一人参加混合对打比赛，则不同的组队方法数为A、11 B、30 C、56 D、655、如图，用4种不同颜色涂入图中的矩形A、B、C、D，要求相邻的矩形颜色不同，则不同的涂法种数
11、为A、12 B、24 C、48 D、72（二） 填空题6、甲、乙、丙三村，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，而从甲村到丙村还有另2条路可走，则从甲村到丙村的路共有_条。7、某大厅共有6个门，一人进入该大厅又出来的不同走法共有_种。8、和10的两个自然数，共有_对。9、设x1，2，3，4，5，y2，3，4，5，6，7，则以有序数对（x，y）为坐标的点的个数是_。10、三张卡片的正反面分别写有数字1和2，3和4，5和6，若将三张卡片并列，则可得到_ 个不同的三位数（6不能作9用）。（三） 解答题11、 (a1+a2+an)(b1+b2+bm)展开后，共有多少个项？12、 满足AB
12、=a，b的非空集合A、B共有多少组？ 13、设椭圆的焦点在y轴上，a1，2，3，4，5，b1，2，3，4，5，6，7，这样的椭圆共有多少个？ 14、已知函数f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c0，1，2，4，求组成不同的二次函数的个数？15、标号为A、B、C的三个口袋，A袋装有5个红色小球，B袋装有6个白色小球，C袋装有7个黄色小球，每次取2个不同的颜色小球，共有多少种不同取法？参考答案（一） 选择题1、A 2、B 3、D 4、B 5、D（二） 填空题6、8 7、36 8、6 9、30 10、48（三） 解答题 11、mn 12、7 13、20 14、48 15、10710.2 排列一、
13、主要内容4、 排列的概念、表示法、计算公式；5、 与排列数有关的计算题、证明题等；3、排列应用题：没有附加条件，有附加条件的二、学习指导1、排列的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。根据排列的定义，它有两个要点：（1）从n个不同元素中任取m个；（2）按照一定顺序排成一列。所谓“按照一定的顺序排成一列”应该理解成是将m个元素放在m个不同的位置上。所以排列定义中的每个要点，可以简略地称之为一是元素，二是位置。在确定排列的数
14、目时，往往要借助于树图写出所有的排列。2、排列数的计算公式：Anm=n(n-1)(n-2)n-(m-1)，等号右边是m个连续的正整数的积，第一项为n，成递减趋势。排列数的化简公式：Anm=规定：0！=1，Anm=n!=n(n-1)(n-2)21排列数公式的推导过程是分步计数原理的直接应用根据排列数的定义，可得到与排列数有关的变形公式： = kk!=(k+1)!-k! 3、排列应用主要是解决与实际问题有关的应用题。这类问题从条件出发，分两类：一类是没有附加条件的排列问题；二类是有附加条件的排列问题。有附加条件的排列问题主要有两种：一是“在与不在”的问题，就是某一个或某几个元素在或不在某些特殊位置，一是“邻与不邻”问题，是指某些元素相邻或不相邻的问题，这类总是常用“捆绑法”或“插空法”。解有附加条件 排列问题的基本思路：从元素出发或从位置出发称为“元素分析法”、“位置分析法”。解有附加条件的排列问题的基本方法：一是直接法，先从特殊元素或特殊位置出发，再考虑非特殊元素及非特殊位置，用分步计数原理；二是间接法，先不考虑条件限制，求出排列总数，再求出不满足条件的排列数，前者与后者的差即为问题结论，也可称这种方法的原理
