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1、备战2019中考初中数学导练学案50讲第18讲 三角形的边与角【疑难点拨】1. 三角形三边关系的理解：三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即abc，cba，acb三个不等式同时成立三角形三边关系的应用：当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围2. 三角形的高线的理解：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上3. 三角形的中线的理解：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个
2、端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点4. 三角形的角平分线的理解：三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上5. 三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平
3、分线6. 三角形中线应用拓展：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分7. .等腰三角形中的三边关系：等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和8. 与三角形有关的线段易错点分析 (1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻图1中BE
4、不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”9. 三角形内角和定理应用三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求
5、角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：(1)已知两角求第三角这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系(2)已知三角的比例关系求各角这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180列方程求解，然后再求出每一个角的度数有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状(3)已知三角之间相互关系求未知角这类题目一般是已知各角之间的和、
6、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数10. 三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等11. 利用三角形内角和确定三角形的形状运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但
7、不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断12. 与三角形有关的角的问题的一题多解由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成，求ABCDE的度数是多少？由于每个角的度数都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，如图(2)，连接BC，根据三角形内角和定理和对顶角相等，可将ABCDE转化到ABC中求解；如图(3)，延长BD，交A
8、C于F，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将ABCDE转化到COF中求解；如图(4)，也可以延长CE交AB于G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将ABCDE转化到BOG中求解；向两方延长DE也能构造出三角形求解13. 正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等14. 多边形的外角和拓展理解：多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360，与边数无关多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和15. 多边形内角和公式的应用多边形内角
9、和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n2)180求出(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数16. 多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每
10、一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换17. 边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n2)180，多边形对角线的条数也是一定的，是，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个
11、量，就可以求出所有的量【基础篇】一、选择题：1. （2018湖南省常德3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A1B2C8D112. （2018吉林长春3分）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（）A44B40C39D383. （2018云南省昆明4分）在AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则CDO的度数为（）A90B95C100D1204. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（）A45
12、B60C75D855. （2018山东泰安3分）如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若2=44，则1的大小为（）A14B16C90D44二、填空题：6. 若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为 7. 如果一个多边形的内角和为1260，那么这个多边形的一个顶点有 条对角线8. （2018辽宁省抚顺市）（3.00分）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+2+3+4=220，则5=三、解答与计算题：9. 如图，在BCD中，BC=4，BD=5，（1）求CD的取值范围； （2）若AEBD，A=55，BDE=125，求C的度数10. 如图，在ABC中
13、，ABC=40，ACB=80，AD是BC边上的高，AE平分BAC（1）求BAE的度数；（2）求DAE的度数【能力篇】一、选择题：11. （2018台湾分）如图，I点为ABC的内心，D点在BC上，且IDBC，若B=44，C=56，则AID的度数为何？（）A174B176C178D18012. 如图为二环四边形，它的内角和A+B+C+D+A1+B1+C1+D1度数为（）A360 B540oC720oD900o13. （2018浙江省台州4分）如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E将BDE沿直线DE折叠，得到BDE，若BD，BE分别交AC于点
14、F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）AADFCGEBBFG的周长是一个定值C四边形FOEC的面积是一个定值D四边形OGBF的面积是一个定值二、填空题：14. 如图，在ABC中，BO、CO分别平分ABC、ACB若BOC=110，则A= 15. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中BAC= 度三、解答与计算题：16. 已知a，b，c是ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数求c的长；判断ABC的形状17. 如图，在ABC中，ABC=66，ACB=54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求ABE、ACF和BHC的度数18. （1）如图1，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索1+2与A的关系（不必证明）（2）如图2，BI平分ABC，CI平分ACB，把ABC折叠，使点A与点I重合，若1+2=130，求BIC的度数；（3）如图3，在锐角ABC中，BFAC于点F，C
