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1、培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例：（1）函数的单调递增区间是（ ）ABCD（2）的单调递增区间为_【答案】（1）D；（2），【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（2）由题意知，当时，；当时，二次函数的图象如图由图象可知，函数在，上是增函数2利用单调性求最值例2：函数的最小值为_【答案】1【解析】易知函数在上为增函数，时，3利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）ABCD（2）定义在R上的奇函数在上递增，且
2、，则满足的的集合为_【答案】（1）D；（2）【解析】（1）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，因为，且，所以（2）由题意知，由得或解得或奇偶性例：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，所以，所以故选A轴对称例：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）A404B804C806D402【答案】C【解析】，为偶函数，关于，轴对称，为周期函数，且，将划分为关于，轴对称，在中只含有四个零点，而共201组所以；在中，含有零点，共两个，所以一共有806个
3、零点，故选C中心对称例：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A是偶函数B是奇函数CD是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看的性质，由，为奇函数分别可得到：，所以关于，中心对称，双对称出周期可求得，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A，B对于D选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移3个单位，即关于对称，所以为奇函数，D正确周期性的应用例：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）AB1C0D无法计算【答案】C【解析】由题意，得，是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，的周期为4，又，对点增分集训一、选择题1若函数的单调递增区间是，则的
4、值为（ ）AB2CD6【答案】C【解析】由图象易知函数的单调增区间是，令，2已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】要使在上是增函数，则且，即3设函数，则是（ ）A奇函数，且在内是增函数B奇函数，且在内是减函数C偶函数，且在内是增函数D偶函数，且在内是减函数【答案】A【解析】易知的定义域为，且，则为奇函数，又在上是增函数，所以在上是增函数4已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】函数图象关于对称，又在上单调递增，即，故选B5已知是奇函数，是偶函数，且，则等于（ ）A4B3C2D1【答案】B【解析】由已知得，则有
5、解得6函数的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B当时，排除C，故选D7奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ）A2B1CD【答案】A【解析】为偶函数，则，又为奇函数，则，且从而，的周期为48函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（ ）ABCD【答案】D【解析】与的图象关于轴对称的函数为依题意，的图象向右平移一个单位，得的图象的图象由的图象向左平移一个单位得到9使成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A10已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，的大小关系
6、是（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得，函数的周期是2函数为偶函数，在区间上是单调递增的，即11对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，则（ ）A0B2C3D4【答案】B【解析】的图象关于对称，则函数的图象关于对称，即函数是偶函数，令，则，即，则，即，则函数的周期是2，又，则12已知函数，若存在，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知，若，则，即，即，解得所以实数的取值范围为二、填空题13设函数，则函数的递减区间是_【答案】【解析】由题意知，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，的减区间是14若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则_【答案】【解析】由于函数是周期
7、为4的奇函数，所以15设函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】如图作出函数与的图象，观察图象可知：当且仅当，即时，不等式恒成立，因此的取值范围是16设定义在上的函数同时满足以下条件：；当时，则_【答案】【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，三、解答题17已知函数，其中是大于0的常数（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由，得，当时，恒成立，定义域为，当时，定义域为，当时，定义域为（2）设，当，时，因此在上是增函数，在上是增函数则（3）对任意，恒有即对恒
8、成立令，由于在上是减函数，故时，恒有因此实数的取值范围为18设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，（1）判定的奇偶性；（2）试求出函数在区间上的表达式【答案】（1）是偶函数；（2）【解析】（1），又，又的定义域为，是偶函数（2）当时，则；进而当时，故培优点二 函数零点1零点的判断与证明例1：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于【答案】见解析【解析】，在单调递增，使得因为单调，所以的零点唯一2零点的个数问题例2：已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，当时，所以，而有三个不同零点与有三个不同交点，如图所示，
9、可得直线应在图中两条虚线之间，所以可解得：3零点的性质例3：已知定义在上的函数满足：，且，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）ABCD【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在中，通过作图可发现在关于中心对称，由可得是周期为2的周期函数，则在下一个周期中，关于中心对称，以此类推。从而做出的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看图像，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，其中，与关于中心对称，所以有。所以4复合函数的零点例4：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析
10、】考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：对点增分集训一、选择题1设，则函数的零点所在的区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】，函数的图象是连续的，且为增函数，的零点所在的区间是2已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）ABCD的符号不确定【答案】C【解析】在上是增函数，若，则3函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为在上是增函数，则由题意得，解得，故选C4若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）A和内B和内C和内D和内【答案】A【解析】，由函数零点存在性定理可知，在区间，内分别存在零点，又函数是二次函数，最多有
11、两个零点因此函数的两个零点分别位于区间，内，故选A5设函数是定义在上的奇函数，当时，则的零点个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，即0是函数的一个零点，当时，令，则，分别画出函数和的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数有一个零点，根据对称性知，当时函数也有一个零点综上所述，的零点个数为36函数的零点个数为（ ）A3B2C7D0【答案】B【解析】方法一：由得或，解得或，因此函数共有2个零点方法二：函数的图象如图所示，由图象知函数共有2个零点7已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，即，解得；当时，即，解得，
12、即实数的取值范围是故选D8若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】当时，与轴无交点，不合题意，所以；函数在区间内是单调函数，所以，即，解得或故选B9已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根，画出的大致图象（图略）观察它与直线的交点，得知当或时，有交点，即函数有零点故选D10已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，则，因为是上的单调函数，所以，只有一个实根，即只有一个实根，则，解得11已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数与的大致图象分两种情形：（1）当时，如图，当时，与的图象有一个交点，符合题意（2）当时，如图，要使与的图象在上只有一个交点，只需，即，解得或（舍去）综上所述，故选B12已知函数和在的图像如下，给出下列四个命
