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1、第一讲 Mathematica数学软件简介 Mathematica是美国workfranRearch公司开发的数学软件 它可用于解决各领域所涉及的复杂的符号运算和数值计算的问题 Mathematica是一个做数学的软件系统 它能完成计算器上能做的任何工作 能做中小学数学的计算题目 能做高等数学中的大部分题目 能根据所给数据或曲线 用一条命令就能给出函数的图形 我们所开设的数学实验这门课程就是借助数学软件 结合所学的数学知识解决实际问题的一门实践课 以计算机数学软件的应用为平台 模拟实验环境 结合数学模型进行教学的新型授课方式 学生通过特定的数学实验 借助于数学软件可以直观的了解非常抽象的数学内
2、容 绘制重要的多元函数图像 描述函数泰勒公式近似 数列极限的性态 可完成求函数值 导数 定积分等数值计算 也可用于求解方程近似解 导弹跟踪问题等 假设在Windows环境下已安Mathematica5 0 启动Windows后 在 开始 菜单的 程序 中单击 就启动了Mathematica5 0 在屏幕上显示如下图的Notebook窗口 系统暂时取名Untitled 1 直到用户保存时重新命名为止 例如输入1 1 然后按下Shif Enter键 这时系统开始计算并输出计算结果 并给输入和输出附上次序标识In 1 和Out 1 注意In 1 是计算后才出现的 再输入第二个表达式 要求系统将一个二
3、项式x5 y5展开 按Shift Enter输出计算结果后 系统分别将其标识为In 2 和Out 2 在Mathematica的Notebook界面下 可以用这种交互方式完成各种运算 如函数作图 求极限 解方程等 也可以用它编写像C那样的结构化程序 在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函数 我们称之为内建函数 built infunction 直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果 这些函数分为两类 一类是数学意义上的函数 如 绝对值函数Abs x 正弦函数Sin x 余弦函数Cos x 以e为底的对数函数Log x 以a为底的对数函数Log a x 等 第二类是命令意义上的函数
4、 如作函数图形的函数Plot f x x xmin xmax 解方程函数Solve eqn x 求导函数D f x x 等 必须注意的是 Mathematica严格区分大小写 一般地 内建函数的首写字母必须大写 有时一个函数名是由几个单词构成 则每个单词的首写字母也必须大写 如 求局部极小值函数FindMinimum f x x x0 等 第二点要注意的是 在Mathematica中 函数名和自变量之间的分隔符是用方括号 而不是一般数学书上用的圆括号 初学者很容易犯这类错误 第二讲 用Mathematica软件绘制空间图形 多元函数的微积分是高等数学教学的一个难点 与这部分教学密切相关的是由函
5、数 方程确定的空间图形 有些图形难以直观感知 特征不易观察 利用Mathematica数学软件可很方便地绘制各种空间图形 Mathematica软件中绘制空间曲面的基本函数为Plot3D 其基本格式为 Plot3D f x xmin xmax y ymin ymax 此外还可采用参数方程绘图函数ParametricPlot3D x u v y u v z u v u umin umax v vmin vmax 在包含圆柱面 球面和圆锥面问题中 使用柱面坐标系和球面坐标系更方便 基本格式如下 CylindricalPlot3D f r r rmin rmax min max SphericalP
6、lot3D f min max min max 旋转曲面指绕定直线旋转一曲线得到的曲面 Mathematica内含大量的旋转曲面函数 不过 在用之前 要先加载 SurfaceOfRevolution 程序包 使用格式如下 SurfaceOfRevolution f x xmin xmax min max 其图形为绕z轴旋转曲线f x 构成的部分曲面 x在xmin和xmax之间 在 min和 max之间 1 马鞍面Plot3D x y x 10 10 y 10 10 2 椭圆抛物面m ParametricPlot3D 3 u Sin v 9 u Cos v u 2 u 0 11 v 0 2 Pi
7、 Show m 3 抛物面a ParametricPlot3D u Sin v u Cos v u 2 u 0 1 5 v 0 2 Pi Show a 4 旋转曲面 Graphics SurfaceOfRevolution SurfaceOfRevolution x 2 x 0 3 5 球体和圆柱体相交r 4 h 6 ParametricPlot3D r Cos u Sin v r Sin u Sin v r Cos v r 2 Cos u r 2 r 2 Sin u v u 0 2Pi v 3 2Pi 3 2Pi PlotPoints 20 PlotRange h h h h h h Vie
8、wPoint 1 2 2 第三讲 Mathematica平台上多元函数极值的判定 数学实验的宗旨是以学生在计算机上动手 动眼 动脑为主 在教师的指导下 利用数学软件做实验 学习解决实际问题常用的数学方法 分析解决经过简化的实际问题 提高学数学 用数学的兴趣 意识和能力 为了达到数学实验的目的 我们探讨在Mathematica平台下实现多元函数极值判定的数学实验 通过实例说明在Mathematica平台下实现多元函数极值的判定的可视化方法 在这个实验中会用到用户自定义的函数 定义一个单变量函数f 以x y为变量 可以书写为f x 或者f x 等号左边的定义告诉Mathematica当给定x的值时
9、 如何计算f的值 注意在定义的左边紧接在x右面的下划线 这个符号相当重要 它告诉Mathematica这个变量为哑元的唯一方法 所谓哑元就是可以用任何 数值的或符号的 表达式替换的变量 还用到求导函数D f x x 解方程函数Solve eqn x 例求出函数的极值 f x y x 4 4 y x y 4pdx D f x y x pdy D f x y y Solve pdx 0 pdy 0 x y pdxx D pdx x pdyy D pdy y pdxy D pdx y d x y pdxx pdyy pdxy 2d 0 0 d 1 1 f 1 1 d 1 1 f 1 1 Plot3D
10、 f x y x 2 2 y 2 2 作业 第四讲 等量线 梯度线的作图问题 等量线和梯度线有极其广泛的实际应用 例如在地理学中绘制地形地貌图 在气象学中绘制气象图等等 二元函数表示空间一张曲面 这个曲面与平面的交线在xoy上的投影曲线称为函数的一条等量线 我们可以用Mathematica作出等量线的图形 即使用命令 ContourPlot 1 作出的等量线f x y If x 0 1 Sin x x If y 0 1 Sin y y Plot3D f x y x 3Pi 3Pi y 3Pi 3Pi PlotPoints 40 ViewPoint 2 239 2 204 1 258 PlotR
11、ange All ContourPlot f x y x 3Pi 3Pi y 3Pi 3Pi ContourPlot f x y x 3Pi 3Pi y 3Pi 3Pi PlotPoints 50 ContourShading False ContourPlot f x y x 3Pi 3Pi y 3Pi 3Pi PlotRange 0 025 0 1 Contours 4 PlotPoints 50 ContourShading False 2 作出的等量线c1 ContourPlot x 2 y 3 10Sin x x 2 2 y 2 2 ContourShading True Conto
12、urs 8 PlotPoints 60 现在来讨论如何作出的梯度线L 即曲线L上任一点处的切向量方向为函数的梯度方向 我们以等步长的折线段来近似模拟函数的梯度线 设步长为 从点出发 沿梯度方向前进得到点 即 再从出发沿梯度方向前进得点 依次得到一列点 利用 ListPlot 作出此点集的图形 即得梯度线的图形 3 作出函数的等量线和梯度线f x y x 2 y 2fx x y D f x y x fy x y D f x y y c 0 1 0 d 0 1 0 lamda 0 01a c 0 b d 0 Do u a lamda fx a b Sqrt fx a b 2 fy a b 2 v
13、b lamda fy a b Sqrt fx a b 2 fy a b 2 c n u d n v a u b v n 500 data Table c n d n n 500 t1 ListPlot data PlotJoined True PlotStyle RGBColor 1 0 0 t2 ContourPlot f x y x 6 6 y 6 6 Contours 20 PlotPoints 50 ContourShading False Show t1 t2 AspectRatio Automatic 作业 第五讲 Fourier级数的几何解释 Fourier级数在高等数学的教学中
14、 是重点 也是难点 说它是重点 是因为它在通讯 电子技术中有很大的作用 是后继课程积分变换中的核心内容 说它是难点 是因为它很抽象 学生往往搞不清一个周期函数如何可以用一系列三角函数去逼近它 为了让抽象的数学理念变成看得见的富于直观形象且能启迪人们思想的 可视 数学 我们用Mathematica数学软件编制了几段程序 形象的演示了三角级数逼近一个复杂的周期函数的动态过程 设周期为的周期函数 在一个周期内的表达式为试生成的Fourier级数 并从图上观察该级数的部分和逼近的情况 n 1 a n Integrate Cos n t t 0 Pi Pi a 0 Integrate 1 t 0 Pi
15、Pi b n Integrate Sin n t t 0 Pi Pi s x a 0 2 Sum a k Cos k x b k Sin k x k 1 n Plot Evaluate s x x Pi 3Pi n 3 a n Integrate Cos n t t 0 Pi Pi a 0 Integrate 1 t 0 Pi Pi b n Integrate Sin n t t 0 Pi Pi s x a 0 2 Sum a k Cos k x b k Sin k x k 1 n Plot Evaluate s x x Pi 3Pi n 5 a n Integrate Cos n t t 0
16、 Pi Pi a 0 Integrate 1 t 0 Pi Pi b n Integrate Sin n t t 0 Pi Pi s x a 0 2 Sum a k Cos k x b k Sin k x k 1 n Plot Evaluate s x x Pi 3Pi n 7 a n Integrate Cos n t t 0 Pi Pi a 0 Integrate 1 t 0 Pi Pi b n Integrate Sin n t t 0 Pi Pi s x a 0 2 Sum a k Cos k x b k Sin k x k 1 n Plot Evaluate s x x Pi 3Pi n 9 a n Integrate Cos n t t 0 Pi Pi a 0 Integrate 1 t 0 Pi Pi b n Integrate Sin n t t 0 Pi Pi s x a 0 2 Sum a k Cos k x b k Sin k x k 1 n Plot Evaluate s x x Pi 3Pi a n Integrate Cos n t t 0 Pi Pia 0
