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1、第5课时直线与椭圆的位置关系基础达标(水平一 )1.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为().A.0B.1C.2D.与a,b的值有关【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线的距离d=4a2+b22,所以a2+b2b0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且y1-y
2、2x1-x2=-12,所以2a2+2b2-12=0,整理得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=22,即e=22.【答案】227.已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个焦点为(0,-2),点A(1,2)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当ABC的面积最大时,求直线l的方程.【解析】(1)椭圆的一个焦点为(0,-2),设椭圆方程为y2a2+x2a2-2=1(a2).将点A(1,2)代入方程,得2a2+1a2-2=1,整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),故所求椭圆方程为y24
3、+x22=1.(2)设直线BC的方程为y=2x+m,点B(x1,y1),C(x2,y2),代入椭圆方程并化简,得4x2+22mx+m2-4=0,由=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,可得0m2b0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点.若|MN|=16,则椭圆的方程为().A.x2144+y2108=1B.x2100+y275=1C.x236+y227=1D.x216+y212=1【解析】因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以(a-c)2+b2=2c.整理得2e2+e-1=0,解得e=12.所以a=2
4、c,b=3c,椭圆的方程为3x2+4y2=12c2.直线PF2的方程为y=3(x-c),将直线方程代入椭圆方程,整理得5x2-8cx=0,解得x=0或x=85c,所以M(0,-3c),N85c,335c,因此|MN|=165c=16,所以c=5.所以椭圆的方程为x2100+y275=1,故选B.【答案】B9.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学“三巨匠”,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来
5、研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A-12,0,点B(1,1),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|的最小值为().A.6B.7C.10D.11【解析】设点M的坐标为(x,y),令2|MA|=|MC|,则|MA|MC|=12.由题意知,圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且=12.设点C的坐标为C(m,n),则|MA|MC|=x+122+y2(x-m)2+(y-n)2=12,整理得x2+y2+2m+43x+2n3y=m2+n2-13.由题意得该圆的方程为x2+y2=1,2m+4=0,2n=0,m2+n2-13=1,解得m=-2,n=0,点C的坐标为(-2,0),2
6、|MA|+|MB|=|MC|+|MB|,因此当点M位于图中点M1,点M2的位置时,2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小值为10,故选C.【答案】C10.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则yx-2的最大值为,最小值为.【解析】yx-2表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.不妨设yx-2=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).由y=k(x-2),4x2+y2=4,得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,解得k=233,所以yx-2的最大值为233,yx-2的最小值为-233.【答案】2
7、33-23311.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.【解析】(1)由题意,得ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=22,b=2.椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由x28+y24=1,y=x+m,消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,-23m23.又x1+x2=-4m3,x0=x1+x22=-2m3,y0=x0+m=m3.又点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,-2m32+m32=1,解得m=355,满足条件.5
