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1、第9课时抛物线及其标准方程基础达标(水平一 )1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为().A.2B.3C.4D.5【解析】由抛物线方程,知抛物线准线为y=-1.由抛物线定义,知点A到焦点的距离等于到准线的距离,距离为5.【答案】D2.若抛物线y2=ax的焦点与双曲线x26-y23=1的左焦点重合,则a的值为().A.-6B.12C.-12D.6【解析】由双曲线方程可知左焦点坐标为(-3,0),所以抛物线开口向左,且p2=3,所以p=6,故抛物线方程为y2=-12x,所以a=-12.【答案】C3.已知曲线:x2+y2a=1,其中a是常数,则下列结论正确的是().A.
2、a0,曲线表示椭圆B.a0,曲线表示双曲线C.a0,曲线表示椭圆D.aR,曲线表示抛物线【解析】当a=1时,曲线:x2+y2=1表示单位圆,故A不正确;当a0),因为点C(5,-5)在抛物线上,可解得p=52,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h米,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.拓展提升(水平二)8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是().A.直线B.圆C.双曲线D.抛物
3、线【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,C1D1平面BB1C1C,连接PC1,则PC1C1D1,所以P,C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离.所以在平面BB1C1C内,动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离.由抛物线的定义,知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点,以直线BC为准线的抛物线.【答案】D9.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为().A.5-12 B.2+12C.2+1D.5-1【解析】设点P(x,y),y0,则m2
4、=|PA|2|PB|2=x2+(y+1)2(y+1)2=1+4y(y+1)21+4y(2y)2=2,当且仅当y=1时取等号,此时点P(2,1),2c=2,2a=|PA|-|PB|=22-2,e=2c2a=2+1,故选C.【答案】C10.若抛物线y2=2px(p0)上一点M到准线的距离和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为.【解析】点M到对称轴的距离为6,可设点M的坐标为(x,6).又点M到准线的距离为10,x+p2=10,(6)2=2px,解得x=9,p=2或x=1,p=18,即点M的横坐标为1或9.【答案】1或911.已知点M到点F12,0的距离比它到y轴的距离大12.(1)求点M的
5、轨迹方程.(2)已知点A(3,2),是否存在点M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为动点M到点F12,0的距离比它到y轴的距离大12,所以动点M到点F12,0的距离与它到直线l:x=-12的距离相等.由抛物线的定义,知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y2=2px(p0)的形式,而p2=12,所以p=1,故轨迹方程为y2=2x.(2)如图,因为点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取得最小值,即|MA|+|MF|取得最小值,这时点M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程,得x0=2,即M(2,2).故存在点M,使|MA|+|MF|取得最小值,此时点M的坐标为(2,2).4
