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1、第7课时双曲线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程为().A.y=43xB.x=43yC.y=43xD.x=43y【解析】令9y2-16x2=0,可得渐近线方程为y=43x.【答案】C2.若双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r等于().A.3B.2C.3D.6【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为y=22x,圆的圆心为(3,0).由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=|32+0|2+4=326=3.【答案】A3.对于方程x24-y2=1和x24-y2=(0且1)所分别表示的双曲线有如下结论:有相同的
2、顶点;有相同的焦点;有相同的离心率;有相同的渐近线.其中正确结论的序号是().A.B.C.D.【解析】对于方程x24-y2=1,a=2,b=1,c=5;对于方程x24-y2=,a=2,b=,c=5.显然a,b,c分别是a,b,c的倍,因此有相同的离心率和渐近线.【答案】C4.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是().【解析】由题意,方程可化为y=mx+n和x2m+y2n=1,B,D选项中,两椭圆中m0,n0,但直线中m0,m0,矛盾;C选项中,双曲线中m0,n0,n0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为双曲
3、线E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则双曲线E的离心率是.【解析】假设点A在第一象限,点B在第二象限,则Ac,b2a,Bc,-b2a,所以|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-12(舍去),所以双曲线E的离心率为2.【答案】26.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为.【解析】由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1AF2B,所以cosF
4、2F1A=-cosF1F2B,再利用余弦定理得4c2+4c2-(2a+2c)222c2c=-4c2+(2c-2a)2-4c222c(2c-2a),化简得2e2-3e-1=0,又e1,所以e=3+174.【答案】3+1747.已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F是(-2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设Q是双曲线右支上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|MQ|=|MF|,求直线l的方程.【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),e=ca=2,c=2,a=1,b=3,所求的双曲线方程为x2-y23=1.(2)设双曲线的右焦点为F1(2,
5、0),则F1Qx轴,Q点的坐标为(2,3)或(2,-3),直线l的方程为3x+4y+6=0或3x-4y+6=0.拓展提升(水平二)8.已知离心率为e的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若F1PF2=3,则e等于().A.62B.52C.52D.3【解析】由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=22c|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,从而解得|PF1|PF2|=43c2(|PF1|-|PF2|)2=8c2-16c234a2=8c23c2a2=32e=62.故选A.
6、【答案】A9.中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为().A.y=54xB.y=45xC.y=43xD.y=34x【解析】ca=53,c2a2=a2+b2a2=259,b2a2=169,ba=43,ab=34.又双曲线的焦点在y轴上,双曲线的渐近线方程为y=abx,故所求双曲线的渐近线方程为y=34x.【答案】D10.已知双曲线x22-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在双曲线上,则PF1PF2=.【解析】由渐近线方程为y=x知,b2=1,即b=2,因为点P(3,y0)在双曲线上,所以y0=1.当y0=1
7、时,P(3,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以PF1PF2=0;当y0=-1时,P(3,-1),PF1PF2=0.【答案】011.已知双曲线C:x24-y2=1,P是C上的任意一点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)若点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)设P(x1,y1)是C上任意一点,由题可知,双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.所以点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是|x1-2y1|5和|x1+2y1|5,所以|x1-2y1|5|x1+2y1|5=|x12-4y12|5=45.故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)由点A的坐标(3,0),得|PA|2=(x1-3)2+y12=(x1-3)2+x124-1=54x1-1252+45.又点P在双曲线上,所以|x1|2,故当x1=125时,|PA|2的最小值为45,即|PA|的最小值为255.- 4 -
