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1、第九讲投影变换 5 1概述 5 2换面法 基本要求 5 3旋转法 基本要求 1 掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律 2 掌握用换面法求线段实长 平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法 3 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题 4 了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法 一般位置与特殊位置时求解一些量度 定位问题方法对比 a 5 2换面法 换面法就是保持空间几何元素不动 用新的投影面替换旧的投影面 使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置 一 换面法的基本概念二 新投影面的选择原则三 点的投影变换规律四 六个基本问题 一 换面法的基本概念 X1
2、换面法 空间几何元素的位置保持不动 用新的投影面来代替旧的投影面 使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置 作出在新投影面上的投影并解决有关问题 V H体系变为V1 H体系 新投影面V1 H 新轴 旧投影面 旧轴 保留的不变投影面 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件 1 新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置 2 新投影面必须垂直于保留投影面 二 新投影面的选择原则 三 点的投影变换规律 1 点的一次变换2 点的投影变换规律3 点的两次变换 1点的一次变换 点在V H1体系中的投影 a1 X1 a a1 X1 a1x1 ax 3点的两次变换 四 六个基本问题 1 把一般位置直线变
3、为投影面平行线例题12 把投影面平行线变为投影面垂直线3 把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1思考题2例题24 把一般位置平面变为投影面垂直面例题3例题45 把投影面垂直面变为投影面平行面6 把一般位置平面变为投影面平行面例题5 1 把一般位置直线变为投影面平行线 SC 例题1求直线 的实长及倾角 2 把投影面平行线变为投影面垂直线 b b SCAB b1 3把一般位置直线变为投影面垂直线 投影作图 a2 b2 思考题1如何求点C到直线AB的距离 提示 V H 把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题2如何求两直线AB与CD间的距离 V 提示 H b 例题2求两直线AB与CD公垂线的投影及其最
4、短距离 SC c 4 把一般位置平面变为投影面垂直面 a c b b a c s s 例题3求点S到平面ABC的距离 SC 例题4已知E到平面ABC的距离为N 求E点的正面投影e X1 sx 5 把投影面垂直面变为投影面平行面 6 把一般位置平面变为投影面平行面 SX 例题5已知点E在 ABC上 距离A B为15 求E点的投影 sx 换面法小结 一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线 新轴 保留投影 新轴 实长投影 求SC 求 保留H投影求 保留V投影 可利用积聚性 一般位置平面 换两次 先新轴 保留投影换成投影面平行线 再新轴 实长投影换成投影面垂直线 新轴 平面上的投影面平行线的实长投影
5、 投影面垂直面 投影面平行面 新轴 积聚投影 可利用积聚性 求平面的 求 作水平线求 作正平线 求SC 换两次 先新轴 平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面 再新轴 积聚投影换成投影面平行面 6 3旋转法 旋转法就是投影面保持不动 将空间几何元素绕某一轴旋转 使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置 一 点的旋转规律二 直线的旋转1 直线旋转的投影规律2 直线旋转的投影作图 2点的旋转规律若点绕某投影面的垂直轴旋转 则点在该投影面上的投影作圆周运动 在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动 一点的旋转规律 V H A a o O o 点绕正垂轴旋转轨迹圆平行于V面 其V投影
6、反映实形 A a A a 二 直线的旋转 a a b b 2 直线旋转的投影规律 a1 1 直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定 且必须遵循绕同一轴 按同一方向 旋转同一角度的 三同原则 以保证几何元素相对位置不改变 当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时 直线在该投影面上的投影长度不变 直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动 因此直线在进行绕铅垂线旋转法投影变换时 其水平面投影长度不变 同样道理 直线绕正垂线进行旋转法投影变换时 其正投影长度不变 等长 三 平面的旋转 a a b b 2 平面旋转的投影变化规律 a1 c c 1 平面的旋转由不在同一直线上的三点 或其它几何要素组合
7、的旋转来决定 必须遵循绕同一轴 按同一方向 旋转同一角度的 三同原则 以保证几何元素相对位置不改变 当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时 它在该投影面上的投影形状和大小不变 平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动 因此 当平面绕正垂线旋转时 它的正面投影形状大小不变 当平面绕铅垂线旋转时 它的水平投影形状大小不变 全等 V H A B a b b1 a B1 当直线 平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时 它们对该投影面的倾角不变 而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变 当过直线的端点作旋转轴时 解题更简便 把一般位置直线旋转成投影面平行线 a b a O X SCAB a b1 OX
8、a b c b a c b1 c1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面 把一般位置平面旋转成正 铅 垂面 实际上就是把平面内的一条水 正 平线旋转为正 水 平线 求法为 在平面中求一条水平线 BE 将BE旋转成正垂线B1E1 求得一个旋转角度 以同样大小的旋转角度将A C两点绕B点旋转 求得正垂面A1B1C1 ABC A1B1C1 把投影面垂直面旋转成投影面平行面 a b c a b c 实形 例题过M点作直线MN与直线AB正交 并求垂线实长 m a b a b m 第一次旋转 将A绕铅垂线旋转成正平线 M同时旋转 则m1 n1 a1 b1 垂线已在作出 为求实长 进行第二次旋转 将AB和M一起
9、绕正垂线旋转 把AB旋转成铅垂线 SC 四 六个基本问题 1 把一般位置直线变为投影面平行线例题12 把投影面平行线变为投影面垂直线3 把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1思考题2例题24 把一般位置平面变为投影面垂直面例题3例题45 把投影面垂直面变为投影面平行面6 把一般位置平面变为投影面平行面例题5 本讲重 难点 1 掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律 体现在如何画新轴上 2 掌握用换面法求线段实长 平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法 体现在应该先变换哪一个投影面上 3 掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题 这一问题在教材上有分类总结 本讲结束 习题 P2 P3
