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1、第4课时椭圆的简单几何性质基础达标(水平一 )1.已知椭圆x210-m+y2m-2=1的焦距为4,则m等于().A.4B.8 C.4或8D.以上均不对【解析】当椭圆的焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4,解得m=4;当椭圆的焦点在y轴上时,m-2-(10-m)=4,解得m=8.故选C.【答案】C 2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为().A.3-12B.2-1C.22D.3-1【解析】如图,由题意知F1PF2为直角三角形,PF2F1=30,又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=3c,所以2a=|
2、PF1|+|PF2|=(1+3)c,所以ca=21+3=2(3-1)2=3-1.【答案】D3.若将一个椭圆绕中心旋转90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是().A.x28+y24=1B.x23+y25=1C.x26+y22=1D.x26+y29=1【解析】由题意,当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项A中的b=c=2符合题意.【答案】A4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则
3、椭圆的离心率是().A.22B.2-12 C.2-2D.2-1【解析】设椭圆焦点在x轴上,点P在x轴上方,则其坐标为c,b2a,因为F1PF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即b2a=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,化简得1-e2=2e,解得e=2-1,故选D.【答案】D5.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程为.【解析】椭圆9x2+4y2=36可化为x24+y29=1,则它的两个焦点分别为(0,-5),(0,5).设所求椭圆的方程为x2+y2+5=1(0).又该椭圆过点(2,-3),所以4+9+5=1,解得=10或=
4、-2(舍去).所以所求椭圆的方程为x210+y215=1.【答案】x210+y215=16.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为.【解析】A、B分别为左、右顶点,F1、F2分别为左、右焦点,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,离心率e=55.【答案】 557.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,连接
5、椭圆的四个顶点所得四边形的面积为42.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B是直线l:x=22上不同的两点,若AF1BF2=0,求|AB|的最小值.【解析】(1)由题意得e=ca=22,a2=b2+c2,S=122a2b=42,解得a=2,b=2,c=2.所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)由(1)知,点F1(-2,0),F2(2,0),设直线l:x=22上不同的两点A,B的坐标分别为A(22,y1),B(22,y2),则AF1=(-32,-y1),BF2=(-2,-y2),由AF1BF2=0得y1y2+6=0,即y2=-6y1,不妨设y10,则|AB|=|y1-y2|=y1+6
6、y126,当y1=6,y2=-6时取等号,所以|AB|的最小值是26.拓展提升(水平二)8.设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为().A.12B.23C.34D.45【解析】设直线x=3a2与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=3a2-c,故cos 60=|F2M|PF2|=3a2-c2c=12,解得ca=34,故离心率e=34.【答案】C9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B1、B2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=
7、1(ab0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2FAB1,则椭圆C的离心率是.【解析】由题意得-bcba=-1b2=aca2-c2=ac1-e2=e,又0eb0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=32,求椭圆的方程.(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且22e32,求k的取值范围.【解析】(1)由题意得c=3,ca=32,解得a=23,又a2=b2+c2,解得b2=3,所以椭圆的方程为x212+y23=1.(2)联立x2a2+y2b2=1,y=kx,得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2+a2k2.依题意,OMON,易知,四边形OMF2N为平行四边形,所以四边形OMF2N为矩形,所以AF2BF2,因为F2A=(x1-3,y1),F2B=(x2-3,y2),所以F2AF2B=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即 -a2(a2-9)(1+k2)a2k2+(a2-9)+9=0,整理得 k2=a4-18a2+81-a4+18a2=-1-81a4-18a2.又因为22e32,所以23a32,12a218,所以k218,即k-,-2424,+.4
