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1、 要点梳理1 导数的概念设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x无限趋近于0时 比值 无限趋近于一个常数A 则称f x 在x x0处可导 并称该常数A为函数f x 在x x0处的导数 记作 2 9导数的概念及运算 基础知识自主学习 f x0 2 导函数如果函数y f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在开区间 a b 内可导 其导数也是开区间 a b 内的函数 又称作f x 的导函数 记作 或 3 函数f x 在x0处的导数函数f x 的导函数f x 在x x0处的函数值 即为函数f x 在x0处的导数 4 导数的几何意义 1 设函数f x 在x0处可导
2、 则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M x0 y0 处的 f x y f x0 切线的 斜率 2 设s s t 是位移函数 则s t0 表示物体在t t0时刻的 3 设v v t 是速度函数 则v t0 表示物体在t t0时刻的 5 常用的导数公式C C为常数 xm m Q sinx cosx ex ax a 0且a 1 lnx logax a 0且a 1 0 mxm 1 sinx cosx ex axlna 瞬时速度 瞬时加速度 6 导数的运算法则 f x g x f x g x Cf x Cf x C为常数 f x g x f x g x f x g x 7 复合函数求导的运算法
3、则一般地 设函数在点x处有导数函数y f u 在u处有导数 f u 则复合函数在点x处也有导数 且 基础自测1 函数y xcosx sinx的导数为 解析y xcosx sinx x cosx x cosx cosx cosx xsinx cosx xsinx 2 若f x0 2 则当k 0时 解析 xsinx 1 3 若函数y f x 在R上可导且满足不等式xf x f x 恒成立 且常数a b满足a b 则下列不等式不一定成立的是 填序号 af b bf a af a bf b af a 0 g x 在R上为增函数 g a g b 即af a bf b 4 2009 辽宁 曲线在点 1 1
4、 处的切线方程为 解析所以切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 y 2x 1 例1 利用导数的定义求函数的导数 先求 y 再求最后求解 典型例题深度剖析 分析 跟踪练习1利用导数的定义 求出函数的导数 并据此求函数在x 1处的导数 解 例2 2010 苏州月考 求下列各函数的导数 1 2 y x 1 x 2 x 3 3 4 利用常见函数的导数及求导法则 解 分析 2 方法一y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 y 3x2 12x 11 方法二y x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3
5、 x 1 x 2 2x 3 x 3 x 1 x 2 3x2 12x 11 跟踪练习2求下列函数的导数 1 y x2sinx 2 y 3xex 2x e 3 4 y sin32x 直接利用导数公式和导数运算法则求导 解 1 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 分析 2 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 4 y 3 sin2x 2 sin2x 6sin22xcos2x 例3 2009 江苏 在平面直角坐标系xOy中 点P在曲线C y x3 10 x 3上 且在第二象限内 已知曲
6、线C在点P处的切线斜率为2 则点P的坐标为 解析设P x0 y0 x0 0 由题意知 x0 2 y0 15 P点的坐标为 2 15 2 15 跟踪练习3 2008 江苏 8 直线是曲线y lnx x 0 的一条切线 则实数b 解析 lnx 得x 2 故切点坐标为 2 ln2 将其代入直线方程 得所以b ln2 1 ln2 1 例4 14分 已知曲线 1 求曲线在x 2处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 1 由题意知切点为 2 4 则在 2 4 处的切线可求 2 过点 2 4 的切线中 2 4 可能为切点 也可能为另外一条切线与曲线的交点 解题示范解 1 y x2 在点P 2 4
7、处的切线的斜率k y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 4分 分析 2 设曲线与过点P 2 4 的切线相切于点则切线的斜率 切线方程为 8分 点P 2 4 在切线上 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 10分 故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0 14分 跟踪练习4若直线y kx与曲线y x3 3x2 2x相切 则k 解析 y x3 3x2 2x y 3x2 6x 2 直线和曲线均过原点 当原点是切点时 切线斜率k y x 0 2 当原点不是切点时 设切点为P x0 y0 其中x0 0 则切线的斜率 又 切点P
8、x0 y0 在曲线上 高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式和法则 以及导数的几何意义 有时也以解答题的形式出现 即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题 1 结合实际背景理解变化率 导数的概念 导数的实质是函数平均变化率的极限 即瞬时变化率 思想方法感悟提高 高考动态展望 方法规律总结 2 要深刻理解导数的定义 会用定义解题 3 在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法 4 熟记几个常用函数的求导公式 提高运算速度和准确率 5 熟练积商的求导法则 不可混淆 6 函数解析式较复杂的 可以化简的要先化简再求导 7 复合函数求导 必须搞清复合层次 不能有漏掉的环节 要适
9、当选取中间量 弄清每一步对哪个变量求导 用什么公式求导 一 填空题1 2009 广东东莞模拟 曲线y x3 1在x 1处的切线方程为 解析 y f x 3x2 f 1 3 切点为 1 0 切线方程为y 3 x 1 即3x y 3 0 3x y 3 0 定时检测 2 2010 徐州模拟 已知f x x2 2xf 1 则f 0 解析f x 2x 2f 1 f 1 2 2f 1 即f 1 2 f x 2x 4 f 0 4 3 2009 江苏姜堰中学 如皋中学 淮阴中学 前黄中学四校联考 已知函数f x x ex 则f 0 解析f x x ex ex xex f 0 1 4 1 4 2010 江苏常熟
10、检测 设P为曲线C y x2 2x 3上的点 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为则点P横坐标的取值范围为 解析 切线的斜率k tan tan0 tan 0 1 设切点为P x0 y0 于是 x0 5 2009 山东济宁第一次月考 曲线y 在点 4 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 解析 曲线在 4 e2 点处的切线方程为切线与坐标轴交点分别是 0 e2 2 0 则切线与坐标轴围成的三角形面积 6 2010 广东四校联考 设f0 x sinx f1 x f0 x f2 x f1 x fn 1 x n N 则f2010 x 解析 f1 x sinx cosx f2 x cosx sin
11、x f3 x sinx cosx f4 x cosx sinx f5 x sinx f1 x f6 x f2 x fn 4 x fn x 即周期T为4 f2010 x f2 x sinx sinx 7 2009 安徽改编 已知函数f x 在R上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 解析 f x 2f 2 x x2 8x 8 f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 f 2 x 2f x x2 4x 4 16 8x 8 将f 2 x 代入f x 2f 2 x x2 8x 8得f x 4f x 2x2 8x 8 x2 8x 8 f x
12、 x2 y f x 在 1 f 1 处的切线斜率为y x 1 2 函数y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 y 2x 1 8 2010 无锡模拟 已知二次函数f x ax2 bx c的导数为f x f 0 0 对于任意实数x 有f x 0 则的最小值为 解析f x 2ax b f 0 b 0 2 9 2009 江西改编 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y ax2 x 9都相切 则a等于 解析设曲线y x3上切点为 公切线的斜率为k 或k 0 切线方程为y x 1 或y 0 当直线方程为y 0时 求得a 当直线方程为y x 1 时 求得a 1 二
13、 解答题10 2010 丽水模拟 已知曲线S y 3x x3及点P 2 2 1 求过点P的切线方程 2 求证 与曲线S切于点 x0 y0 x0 0 的切线与S至少有两个交点 1 解设切点为 x0 y0 则又f x 3 3x2 切线斜率 x0 1 x0 1 2 3 0 解得x0 1或相应的斜率k 0或 切线方程为y 2或 2 证明与曲线S切于点 x0 y0 的切线方程可设为与曲线S的方程联立 消去y 即 x x0 2 x 2x0 0 则x x0或x 2x0 因此 与曲线S切于点 x0 y0 x0 0 的切线 与S至少有两个交点 11 2008 海南 宁夏 21 1 3 问 设函数f x ax a
14、 b Z 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 3 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点的切线与直线x 1和直线y x所围三角形的面积为定值 并求出此定值 1 解 2 证明在曲线上任取一点由f x0 知 过此点的切线方程为切线与直线x 1的交点为令y x 得y 2x0 1 切线与直线y x的交点为 2x0 1 2x0 1 直线x 1与直线y x的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为所以 所围三角形的面积为定值2 12 2009 江苏淮阴二模 设曲线C y lnx 0 x 1 在点M e t t t 0 处的切线为l 1 求直线l的方程 2 若直线l与x轴 y轴所围成的三角形面积为S t 求S t 的最大值 解 1 y lnx 0 x 1 在点M e t t 处的切线l的斜率为 et 故切线l的方程为y t et x e t 即etx y 1 t 0 2 令x 0 得y t 1 再令y 0 得从而S t e t 1 t 1 t 当t 0 1 时 S t 0 当t 1 时 S t 0 S t 的最大值为 返回 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
