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1、教学目的理解 矩阵的定义及不变因子掌握用初等变换的方法化 矩阵为Smith标准形理解行列因子 初等因子及相关理论掌握求矩阵的Jordan标准形的方法了解Cayley Hamilton定理 第三章 矩阵与矩阵的Jordan标准形 matrixandJordanCanonicalForm 标准型的理论源自矩阵的相似性 因为相似矩阵有许多相似不变量 特征多项式 特征值 包括代数重数和几何重数 行列式 迹及秩等 并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出 这自然导出了寻找相似矩阵集合中的 代表矩阵 的问题 代表矩阵 当然越简单越好 对于可对角化矩阵 代表矩阵 就是特征值组成的对角矩阵 但是令人
2、非常遗憾的是 一般矩阵未必与对角矩阵相似 2 矩阵及其在相抵下的标准型 由于一般矩阵与对角矩阵不相似 因此我们 退而求其次 寻找 几乎对角的 矩阵 这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题 其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵 只在第1条对角线上取1或0 弄清楚了矩阵相似的本质 理论上 计算上以及应用上的许多问题就容易处理了 当然花费也大了 定义1元素为 的多项式的矩阵称为 矩阵 记为A 即A aij m n i 1 2 m j 1 2 n 其中aij 是数域P上的多项式 多项式aij 的最高次数称为A 的次数 数域P上全体m n的 矩阵记为P m n 注 数字矩阵是 矩阵的特例 数字矩阵A
3、的特征矩阵 I A是1次 矩阵 1 矩阵的基本概念 矩阵的加法 减法 乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律 数字矩阵行列式的定义也可应用到 矩阵 且性质相同 n阶 矩阵的行列式是 的多项式 且满足 A B A B 定义2设A P m n 如果A 中有一个r阶子式不为零 而所有r 1阶子式全为零 称A 的秩为r 记为rank A r数字矩阵A的特征矩阵 I A是 的n次行列式 所以是满秩的 矩阵的秩 定义3设A P m n 如果存在一个n阶 矩阵B 使得A B B A I则称A 可逆 B 为A 的逆矩阵记作A 1 定理1设A P m n A 可逆的充要条件是 A 是非零常数 矩阵的
4、逆 矩阵的初等变换 定义4初等变换 对应三种初等变换 有三种初等矩阵P i j P i k P i j 1 做一次初等行 列 变换 相当于左 右 乘相应的初等矩阵 2 初等矩阵都是可逆的 P i j 1 P i j P i k 1 P i k 1 P i j 1 P i j 相抵 等价 定义5设A B P m n 若A 经有限次行 列初等变换化为B 称A 与B 相抵 等价 记为A B 定理2设A B P m n A 与B 相抵的充要条件是存在m阶初等矩阵P1 P2 Pl 与n阶初等矩阵Q1 Q2 Qt 使得A Pl P1 B Q1 Q2 Qt 3 矩阵在相抵下的标准型 定义6该标准型称为A 在
5、相抵下的标准型或Smith标准型 称smith标准型 主对角线 上非零元d1 d2 dr 为A 的不变因子 定理对任意一个秩为r的m n阶 阵A 都相抵于一个标准型di 为首项系数为1的 多项式 且di di 1 例1求 矩阵的Smith标准形 解题思路 经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低 最后降低到可以整除其余所有的元素 解 不变因子 将其化成Smith标准形 例2 解 3 矩阵的行列式因子和初等因子 定义1设A P m n 且rank A r 对于正整数k 1 k r A 中的全部k阶子式的最大公因式称为A 的k阶行列式因子 记为Dk 定理1相抵的 矩阵有相同的秩
6、和相同的各阶行列式因子 例1求 矩阵的各阶行列式因子 解由于 1 2 1 所以D1 1 最后D3 det A 2 1 3 行列式因子和不变因子的关系设 矩阵A 的Smith标准形为 其中di i 1 2 r 是首项系数是1的不变因子 则A 的各阶行列式因子如下 于是Di Di 1 i 1 2 r 1 di 1 Di 1 Di i 1 2 r 1 定理2 矩阵A 的Smith标准型唯一 定理3设A B P m n A 与B 相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子 或它们有相同的不变因子 例2求下列 矩阵的行列式因子和不变因子 一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂 但对一些特殊的矩阵先求行列式因
7、子再求不变因子反而简单 其中 i是数域P中的常数 解由于A 的一个m 1阶子式故Dm 1 1 根据行列式因子的依次整除性 有D1 D2 Dm 2 1而Dm i m 因此A 的不变因子为d1 d2 dm 1 1 dm i m 设 矩阵A 的不变因子为d1 d2 dr 在复数域内将它们分解成一次因式的乘积 其中 1 s是互异的复数 eij是非负整数 满足 初等因子 定义2在不变因子的分解式中 所有指数大于0的因子 称为 矩阵A 的初等因子 注 在A 的秩已知的情况下 不变因子和初等因子相互确定 例3如果 矩阵A 的不变因子为 则A 的初等因子为 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3 2 反过来
8、如果知道了A 的秩和初等因子 因为A 的秩确定了不变因子的个数 则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中 方次最高的必在dr 的分解中 方次次高的必在dr 1 的分解中 如此顺推 可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定 例如如果A 的秩为4 且其初等因子为 则A 的不变因子依次为 d4 2 1 3 i 3 i 3d3 1 2 d2 1 d1 1 2 1 1 2 1 3 i 2 i 3 定理7设 矩阵为块对角形矩阵 则B 与C 的初等因子的全体是A 的全部初等因子 该定理可以推广到n个分块的情形 定理6设A B P m n A 与B 相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的
9、初等因子 例4求 的Smith标准型 解记 那么 因为A1 的初等因子为 1 A2 的初等因子为 A3 的初等因子为 1 1 由上面的定理可知A 的初等因子为所以A 的不变因子为 1 1 1 d4 1 1 d3 1 d2 d1 1 因此A 的Smith标准形为 4矩阵相似的条件 定理1数字方阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E A与 E B相抵 定义1n阶数字方阵A的特征矩阵 E A的行列式因子 不变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子 不变因子和初等因子 4矩阵相似的条件 定理2n阶数字方阵A与B相似的充分必要条件是他们满足如下条件之一 1 它们有相同的行列式因子 2 它们有相
10、同的不变因子 3 它们有相同的初等因子 5矩阵的Jordan标准型 定义1称方阵 为阶Jordan块 由若干个Jordan块组成的块对角矩阵称为Jordan形矩阵 ni阶Jordan块Ji的性质 1 Ji由有唯一的特征值 i 2 特征值 i的几何重数为1 代数重数为ni 3 Ji有唯一的初等因子 Jordan块Ji的性质 对应于特征值 仅有一个线性无关的特征向量 4 Jordan块Ji的性质 可使用归纳法证明 设Jordan形矩阵 其中 Ji Ji i 是ni阶Jordan块 则 1 J的初等因子为 2 J恰有s个线性无关的特征向量 注 Jordan形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan块
11、的初等因子决定 因此Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被它的初等因子唯一决定 定理1设 则A可经过相似变换可化成唯一的Jordan形矩阵 不计Jordan块的排列次序 称该Jordan形矩阵 为A的Jordan标准型 Ji i 为A的对应初等因子 i的Jordan块 求方阵 的Jordan标准形 例1 解 首先用初等变换法求其Jordan标准形 故A的初等因子为 1 1 2 从而A的Jordan标准形为 或 初等因子法的缺点是不能求出相似变换矩阵 定理2设T是复数域上n维线性空间V的线性变换 则在V中存在一组基使得T在这组基下的矩阵是Jordan形矩阵 定理3设A Cn n
12、则A于一个对角阵相似的充要条件是A的初等因子都是一次的 求相似变换矩阵的步骤 由定理1知道 方阵与标准型J是相似的 即存在可逆矩阵P 使得 A PJP 1 即AP PJ 求法如下 设 即 所以 解方程并选择适当的即得 求方阵 的相似变换矩阵 例2 解 由例1知 矩阵的Jordan标准型为 求相似变换矩阵 设所求矩阵为P 则AP PJ 对于P按列分块记为 从而 整理后得三个方程组为 前面的两个方程为同解方程组 可以求出它们的一个基础解系 这是因为如果p2选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解 令 p2 k1 1 k2 2将其代入第三个方程 选取适当的k1 k2 使 I A p3 k1 1 k2
13、 2 有解 可以取p1 1 但不能简单取p2 2 根据非齐次方程有解的条件 系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 容易计算出其系数矩阵的秩为1 从而应该使得增广矩阵的秩为1 令k1 k2 1 由此得 那么所求相似变换矩阵为 三 Jordan标准形的某些应用 对于方阵A 求An 若A P 1JP An P 1JnP 应用 1 一阶差分方程Uk 1 AUk AkU0 例如 Fibonacci数列Fk 2 Fk 1 Fk 写成Uk 1 AUk形式 三 Jordan标准形的某些应用 这是一个动态问题 特征值决定增长速度 是无限增长还是趋于稳定An 0 称A是稳定的 如果所有的特征值 1 且A有n个线性无关的特
14、征向量 则A是稳定的 三 Jordan标准形的某些应用 例3对于方阵 求A10 解 由例1知 矩阵的Jordan标准型为 由例2知 矩阵的相似变换矩阵为 从而 6Cayley Hamilton定理与最小多项式 定义1任给数域P上一个n级矩阵A 若存在数域P上一个多项式f x 使f A 0 则称f x 是以A为根的多项式 或称为A的化零多项式 定理1Cayley Hamilton定理 设A是数域P上一个n n矩阵 f E A 是A的特征多项式 则 f A An a11 a22 ann An 1 1 n A E 0 最小多项式 定义3首项系数为1 次数最低的以A为根的多项式称为A的最小多项式 注意
15、 1 矩阵A的特征多项式就是A的化零多项式 2 化零多项式不唯一3 矩阵A的特征多项式未必是最小多项式 最小多项式 定理2设A是数域P上一个n阶矩阵 设m 是A的最小多项式 是A的任一化零多项式 则 1 A的最小多项式唯一 2 m 能整除 特别地 m 能整除A的特征多项式f 3 0是A的特征值的充要条件是m 0 0 事实上 如果矩阵A与B相似 B T 1AT 那么对任一多项式f x f B T 1f A T 因此 f B 0 f A 0 这说明相似矩阵有相同的最小多项式 反之不然 即 最小多项式相同的矩阵不一定是相似 定理3相似矩阵有相同的最小多项式 求矩阵A的最小多项式的步骤 步骤1写出矩阵
16、A的特征多项式 f x xE A 步骤2找出f x 的所有因式 步骤3得出矩阵A的最小多项式 例1设 求A的最小多项式 解 因为A的特征多项式为 xE A x 1 3 所以A的最小多项式为 x 1 3的因式 因此A的最小多项式为 x 1 2 又 定理4设A是一个准对角矩阵 并设Ai的最小多项式为gi x i 1 2 s 那么A的最小多项式为g1 x gs x 的最小公倍式 g1 x gs x 定理5n阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子dn 定理6n阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根 例2设n级复矩阵A满足 A2 A 称A为幂等矩阵证明 A必与对角阵相似 证 A的化零多项式 2 由定理2 A的最小多项式m 整除 没有重根 所以m 0也没有重根 由定理6 A相似于对角阵
