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1、3 1 2复数的几何意义 1 对虚数单位i的规定 i2 1 可以与实数一起进行四则运算 并且加 乘运算律不变 2 复数z a bi 其中a b R 中a叫z的 b叫z的 实部 虚部 z为实数 z为纯虚数 b 0 练习 把下列运算的结果都化为a bi a b R 的形式 2 i 2i 5 0 3 a 0是z a bi a b R 为纯虚数的条件 必要但不充分 课前复习 在几何上 我们用什么来表示实数 想一想 实数的几何意义 类比实数的表示 可以用什么来表示复数 实数可以用数轴上的点来表示 实数 数轴上的点 形 数 一一对应 回忆 复数的一般形式 Z a bi a b R 实部 虚部 一个复数由什
2、么唯一确定 O 思考1 复数与点的对应 X Y i i i i i 思考2 点与复数的对应 每个小正方格的边长为1 X Y 复数z a bi 有序实数对 a b 直角坐标系中的点Z a b x y o b a Z a b 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴 实轴 y轴 虚轴 数 形 复数平面 简称复平面 一一对应 z a bi 复数的几何意义 一 A 在复平面内 对应于实数的点都在实轴上 B 在复平面内 对应于纯虚数的点都在虚轴上 C 在复平面内 实轴上的点所对应的复数都是实数 D 在复平面内 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 例1 辨析 1 下列命题中的假命题是 D 2 a 0 是
3、复数a bi a b R 是纯虚数 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 C 3 a 0 是 复数a bi a b R 所对应的点在虚轴上 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 A 例2已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m允许的取值范围 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想 数形结合思想 变式一 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点在直线x 2y 4 0上 求实数
4、m的值 解 复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点是 m2 m 6 m2 m 2 m2 m 6 2 m2 m 2 4 0 m 1或m 2 例2已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i 变式二 证明对一切m 此复数所对应的点不可能位于第四象限 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限 小结 复数z a bi 直角坐标系中的点Z a b 一一对应 平面向量 一一对应 一一对应 复数的几何意义 二 x y o b a Z a b z a bi 小结 x O z a bi y 复数的绝对值 复数的模 的几何意义 Z a b 对应平面向量的模 即复数z a bi在复平
5、面上对应的点Z a b 到原点的距离 z 小结 实数绝对值的几何意义 复数的模其实是实数绝对值概念的推广 x O A a a OA 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离 例3求下列复数的模 1 z1 5i 2 z2 3 4i 3 z3 5 5i 2 满足 z 5 z C 的z值有几个 思考 1 满足 z 5 z R 的z值有几个 4 z4 1 mi m R 5 z5 4a 3ai a 0 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形 小结 x y O 设z x yi x y R 满足 z 5 z C 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形 5 5 5 5 以原点为圆心 半径为5的圆 图形
6、5 x y O 设z x yi x y R 满足3 z 5 z C 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形 5 5 5 5 3 3 3 3 图形 以原点为圆心 半径3至5的圆环内 1 z 1 2i 2 z 1 2i 例5已知复数z对应点A 说明下列各式所表示的几何意义 点A到点 1 2 的距离 点A到点 1 2 的距离 3 z 1 4 z 2i 点A到点 1 0 的距离 点A到点 0 2 的距离 已知复数m 2 3i 若复数z满足等式 z m 1 则z所对应的点的集合是什么图形 以点 2 3 为圆心 1为半径的圆 例4 设复数z x yi x y R 在下列条件下求动点Z x y 的轨迹
7、1 z 2 12 z i z i 43 z 2 z 4 x y o Z 2 Z Z Z 当 z z1 r时 复数z对应的点的轨迹是以Z1对应的点为圆心 半径为r的圆 1 1 Z Z Z y x o z z1 z z2 2a z1 z2 2a z2 z1 2a z2 z1 2a 椭圆 线段 无轨迹 y x o 2 4 x 1 当 z z1 z z2 时 复数z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的中垂线 1 1 z1 z2 平行四边形OABC是 2 z1 z2 z1 z2 平行四边形OABC是 3 z1 z2 z1 z2 z1 z2 平行四边形OABC是 o z2 z1 A B C 菱形 矩形 正方形 练习1 小结 复数的几何意义是什么 复数z a bi 直角坐标系中的点Z a b 一一对应 平面向量 一一对应 一一对应 复数的几何意义 比一比 复数还有哪些特征能和平面向量类比 作业与思考题 一 作业课本P106 4 5 6 二 思考题1 如果复数z满足 z i z i 2 那么 z i 1 的最小值是 2 在复平面上的复数z a2 2a 4 a2 2a 2 i a R 求复数z对应点的轨迹方程
