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1、拉普拉斯方程的格林函数法 4 1拉普拉斯方程边值问题的提法 设满足拉普拉斯方程 描述稳恒状态下的物理过程 通常表示成不存在初始条件 拉普拉斯方程的解称为调和函数 1 第一边值问题 狄利克雷 Direchlet 问题 边界条件 2 第二边值问题 纽曼 Neumann 问题 4 2格林公式 高斯公式 设是以光滑曲面为边界的有界区域 在闭域上连续 在内有一阶连续偏导数 则 其中为的外法向量 高斯公式可简记为 令 则 等式左端 所以 第一格林公式 交换的位置 有 两式相减 得 第二格林公式 1 牛曼内问题有解的必要条件设是在以为边界的区域内的调和函数 在上有一阶连续偏导数 则在第二格林公式中取为上述调
2、和函数 则有 所以牛曼内问题 有解的必要条件为函数满足 事实上 这也是牛曼内问题有解的充分条件 2 拉普拉斯方程解的唯一性问题设是定解问题的两个解 则它们的差必是原问题满足零边界条件的解 对于狄利克雷问题 满足 对于牛曼问题 满足 在第一格林公式中取 由是调和函数 可得 在两个边界条件下 都有 所以 故在内必有 即 可得 其中C为常数 对于狄利克雷问题 由于 故从而 结论狄利克雷问题在内的解是唯一确定的 牛曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的 3 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式 是指用调和函数及其在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在内任一点的值 设是内一固定点 下
3、面求调和函数在这一点的值 为此构造一个辅助函数 可以证明函数除点外处处满足拉普拉斯方程 它称为三维拉普拉斯方程的基本解 为了利用格林公式 我们在内挖去的球形邻域 是其球面 在区域内及其边界上 是任意可导的 在第二格林公式中 取为调和函数 并假定它在上有一阶连续偏导数 而取 在区域上应用公式得 在球面上 因此 同理可得 我们可得 令 则 于是 4 平均值公式设函数在某区域内是调和函数 是内任一点 表示以为中心 为半径且完全落在内的球面 则有 4 3格林函数 能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解 调和函数的积分表达式 为得到狄利克雷问题的解 必须消去 这需要引入格林函数的概念 设为内的调和函数
4、并且在上有一阶连续偏导数 利用第二格林公式 可得 与 相加得 如果能找到调和函数 使得 那么上式意味着 令 则 称为拉普拉斯方程的格林函数 如果能找到格林函数中的 并且它在 上有一阶连续偏导数 则狄利克雷问题 的解如果存在 必可以表示为 类似的 泊松问题 的解若存在 必可以表示为 说明格林函数仅依赖于选取的区域 而与原定解问题中的非齐次项 边界条件无关 如果求得某个区域的格林函数 就可以解决该区域的一切狄利克雷问题 求解 狄利克雷问题 要想确定格林函数 需要找一个调和函数 它满足 对于一般的区域 确定并不容易 但对于一些特殊的区域 如半空间 球域等 格林函数可以通过初等方法得到 我们通常使用
5、电象法 求解 4 4特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解 所谓电象法 就是在放置的单位正电荷 在区域外找出关于边界的象点 然后在象点放置适当单位的负电荷 由它产生的负电位与处的单位正电荷所产生的正电位在曲面上互相抵消 而和处的点电荷在内的电位就是所要求的格林函数 1半空间的格林函数求解拉普拉斯方程在半空间的狄利克雷问题 即求函数满足 首先找格林函数 在半空间的点放置单位正电荷 关于边界的对称点为 下面以半空间 球域为例说明电象法的应用 由于在上半空间内为调和函数 在闭域上具有一阶连续偏导数 因此 就是半空间的格林函数 在放置单位负电荷 则它与处的单位正电荷所产生的正电位在平面上互相抵消 为了求解狄利克雷问题 需要计算 由于外法线方向恰好是轴的负向 所以 原问题的解 2球域的格林函数 设有一个球心在原点 半径为的球面 在球内任取一点连接并延长至点使得 点称为关于球面的反演点 在点放置单位正电荷 在点放置单位的负电荷 使这两种电荷产生的电位在球面上互相抵消 即有 利用条件得到 由此可得 只要在点放置单位的负电荷 由它形成的电位具有性质 在所围的球面内部是调和函数 在上一阶连续可微 而且在球面上有 所以 球域的格林函数为 由此可以求出球域内的狄利克雷问题
