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1、第12课时二次函数 考点梳理 自主测试 考点一二次函数的概念一般地 如果y ax2 bx c a b c是常数 a 0 那么y叫做x的二次函数 任意一个二次函数都可化成y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的形式 因此y ax2 bx c a 0 叫做二次函数的一般形式 注意 1 二次项系数a 0 2 ax2 bx c必须是整式 3 一次项系数可以为零 常数项也可以为零 一次项系数和常数项可以同时为零 4 自变量x的取值范围是全体实数 考点二二次函数的图象及性质 考点梳理 自主测试 考点梳理 自主测试 考点三二次函数图象的特征与a b c及b2 4ac的符号之间的关系 考点梳理 自主
2、测试 考点四二次函数图象的平移抛物线y ax2与y a x h 2 y ax2 k y a x h 2 k中a相同 则图象的形状和大小都相同 只是位置的不同 它们之间的平移关系如下 考点梳理 自主测试 考点五二次函数关系式的确定1 设一般式 y ax2 bx c a 0 若已知条件是图象上三个点的坐标 则设一般式y ax2 bx c a 0 将已知条件代入 求出a b c的值 2 设交点式 y a x x1 x x2 a 0 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标 则设交点式 y a x x1 x x2 a 0 将第三点的坐标或其他已知条件代入 求出待定系数a 最后将关系式化为一般式 3 设
3、顶点式 y a x h 2 k a 0 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值 则设顶点式 y a x h 2 k a 0 将已知条件代入 求出待定系数化为一般式 考点梳理 自主测试 考点梳理 自主测试 考点七二次函数的应用1 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型 这就需要认真审题 理解题意 利用二次函数解决实际问题 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 最节省方案等问题 2 建立平面直角坐标系 把代数问题与几何问题进行互相转化 充分结合三角函数 解直角三角形 相似 全等 圆等知识解决问题 求二次函数的解析式是解题关键 考点梳理 自主测试 1 抛物线y x 2 2
4、3的顶点坐标是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 答案 A2 在二次函数y x2 2x 1的图象中 若y随x的增大而增大 则x的取值范围是 A x1C x 1答案 A3 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图 则下列结论正确的是 A a 0B c0答案 D 考点梳理 自主测试 4 把抛物线y x2向左平移1个单位长度 然后向上平移3个单位长度 则平移后抛物线的解析式为 A y x 1 2 3B y x 1 2 3C y x 1 2 3D y x 1 2 3答案 D5 若二次函数y x2 2x k的部分图象如图 则关于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一个解x1 3 另一个
5、解x2 答案 1 考点梳理 自主测试 6 函数y x2 2x 1 当y 0时 x 当1 1时 y随x的增大而增大 当1 1 y随x的增大而增大 答案 1增大 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1二次函数的图象及性质 例1 1 二次函数y 3x2 6x 5的图象的顶点坐标是 A 1 8 B 1 8 C 1 2 D 1 4 2 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线x 1 且经过点 1 y1 2 y2 试比较y1和y2的大小 y1 y2 填 或 解析 1 抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求 所以二次函数y 3x2 6x 5的图
6、象的顶点坐标是 1 8 故选A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 2 点 1 y1 2 y2 不在对称轴的同一侧 不能直接利用二次函数的增减性来判断y1 y2的大小 可先根据抛物线关于对称轴的对称性 再用二次函数的增减性即可 设抛物线经过点 0 y3 因为抛物线对称轴为直线x 1 所以点 0 y3 与点 2 y2 关于直线x 1对称 则y3 y2 又a 0 所以当xy3 故y1 y2 答案 1 A 2 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点2利用二次函
7、数图象判断a b c的符号 例2 二次函数y ax2 bx c a 0 的部分图象如图所示 图象过点 1 0 对称轴为直线x 2 下列结论 4a b 0 9a c 3b 8a 7b 2c 0 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 其中正确的结论有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 因为对称轴为直线x 2 所以 2 所以4a b 0 所以 正确 因为当x 3时 9a 3b c0 c 0 又因为4a b 0 所以8a 7b 2c 2b 7b 2c 5b 2c 0 所以 正确 因为当x 2时 y的值随x值的增大而减小 所以 错误 所以正确的有2个 故选B 答案 B 命题点1 命题点2 命题点3
8、 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 变式训练已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图 有下列结论 b2 4ac 0 abc 0 8a c 0 9a 3b c0 故 正确 与y轴交于负半轴 则c0 对称轴x 1 b 2a0 故 正确 当x 2时 y 0 此时y 4a 2b c 4a 2 2a c 8a c 0 故 正确 x 1是抛物线的对称轴 由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间 则当x 3时 y 0 即y 9a 3b c 0 正确 即正确结论有4个 答案 D 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
9、 命题点5 命题点6 命题点7 命题点3二次函数图象的平移 例3 将抛物线y x2 2x 3向上平移2个单位长度 再向右平移3个单位长度后 得到的抛物线的解析式为 A y x 1 2 4B y x 4 2 4C y x 2 2 6D y x 4 2 6解析 y x2 2x 3 x 1 2 2 向上平移2个单位长度 再向右平移3个单位长度后 得到的解析式为y x 1 3 2 2 2 即y x 4 2 4 故选B 答案 B 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点4确定二次函数的解析式 例4
10、已知一抛物线与x轴的交点是A 2 0 B 1 0 且经过点C 2 8 1 求该抛物线的表达式 2 求该抛物线的顶点坐标 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点5求二次函数的最大 小 值 例5 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图 当 5 x 0时 下列说法正确的是 A 有最小值 5 最大值0B 有最小值 3 最大值6C 有最小值0 最大值6D 有最小值2 最大值6解析 由二次函数的图象 得当x 5时 y
11、 3 当x 2时 y 6 当x 0时 y 2 5 x 0 3 y 6 故选B 答案 B 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点6二次函数与一元二次方程的关系 例6 若关于x的一元二次方程 x 2 x 3 m有实数根x1 x2 且x1 x2 有下列结论 x1 2 x2 3 m 二次函数y x x1 x x2 m的图象与x轴交点的坐标为 2 0 和 3 0 其中 正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3解析 因式分解求方程的解 右边应化为0 而现在方程右边为m 所以 错误 方程可化简为x2
12、 5x 6 m 0 则 52 4 6 m 0 可解出m 所以 正确 二次函数可化简为y x2 x1 x2 x x1x2 m 由根与系数的关系 x1 x2 5 x1x2 6 m y x2 5x 6 m m 即y x2 5x 6 则此二次函数与x轴交点的坐标为 2 0 和 3 0 所以 正确 故选C 答案 C 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 命题点7二次函数的实际应用 例7 如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 点D为抛物线的顶点 点E在抛物线上 点F在x轴上
13、四边形OCEF为矩形 且OF 2 EF 3 1 求该抛物线所对应的函数关系式 2 求 ABD的面积 3 将三角形AOC绕点C逆时针旋转90 点A对应点为点G 问点G是否在该抛物线上 请说明理由 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7 解 1 因为四边形OCEF为矩形 OF 2 EF 3 所以点C的坐标 0 3 点E的坐标为 2 3 把x 0 y 3 x 2 y 3分别代入y x2 bx c中 所以抛物线所对应的函数关系式为y x2 2x 3 2 因为y x2 2x 3 x 1 2 4 所以抛物线的顶点坐标为 1 4 所以在 ABD中AB边上的高为4 令y 0 得 x2 2x 3 0 解之得 x1 1 x2 3 所以AB 3 1 4 于是 ABD的面积为 3 AOC绕点C逆时针旋转90 CO落在CE所在的直线上 又由 2 可知 OA 1 所以点A的对应点G的坐标为 3 2 当x 3时 y 32 2 3 3 0 2 所以点G不在该抛物线上 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 命题点6 命题点7
