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1、概率与二项式1两种计数原理分类计数原理和分步计数原理2排列(1)排列的定义;(2)排列数公式:An(n1)(n2)(nm1)(mn,m,nN*)3组合(1)组合的定义;(2)组合数公式:C(mn,m,nN*)(3)组合数性质:CC;CCC.4概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示:离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量;离散型随机变量概率分布的表示法:概率分布列和概率分布表;性质:1pi0(i1,2,3,n);2p1p2p3pn1;(2)特殊的概率分布列:01分布(两点分布)符号表示:X01分布;超几何分布:1符号表示:XH(n,M,N);2概率
2、分布列:XH(r;n,M,N)P(Xr);二项分布(又叫独立重复试验,波努利试验):1符号表示:XB(n,p);2概率分布列:P(Xk)Cpk(1p)nk.注意:P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.5.互斥事件有一个发生的概率若A、B是互斥事件,则P(AB)P(A)P(B),P(A)P(A)1.相互独立事件与n次独立重复试验(1)若 A1,A2,An是相互独立事件,则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识:随机变量的可能取值,分布列,期望,方差,二项分布,超几何分布,正态分布(2)基本公式:E()x1p1x2p2xnp
3、n;D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn;E(ab)aE()b,D(ab)a2D();6. 二项分布:B(n,p),则P(k)Cpk(1p)nk,E()np,D()np(1p)7.正态分布:(1)若X服从参数为和2的正态分布,则可表示为XN(,2)(2)N(,2)的分布密度曲线关于直线x对称,该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.(3)当XN(,2)时,0.683P(X),0.954P(2X2),0.997P(3X3)例题随机变量服从正态分布N(40,2),若P(25)0.2,则P(2540)为(). A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【例1】 (2012陕西
4、)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望解设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的
5、时间为3分钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)X的所有可能取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X0)P(Y2)0.5;X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01;P(X1)1P(X0)P(X2)0.49;所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.01
6、0.51.【例2】 (2012天津)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记|XY|.求随机变量的分布列与数学期望E()解依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4),则P
7、(Ai)Ci4i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则BA3A4.由于A3与A4互斥,故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(0)P(A2),P(2)P(A1)P(A3),P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P的期望E()024.与方差【例3】 (2012新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售如
8、果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率()若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;()若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由解(1)当日需求量n16时,利润y80.当日需求量n16时,利润y10n80.所以y关于n的
9、函数解析式为y(nN)(2)()X可能的取值为60,70,80,并且P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7.X607080P0.10.20.7X的分布列为X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.()答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20
10、.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外,虽然E(X)E(Y),但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购
11、进17枝玫瑰花二项式定理1 知识精讲:(1)二项式定理:()其通项是 (r=0,1,2,n),知4求1,如:亦可写成:()特别地:()其中,二项式系数。而系数是字母前的常数。(2)二项展开式系数的性质:对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即偶数:;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即例1等于 ( )A B。 C。 D.解:设,于是:=故选D例2(1)求的展开式的第四项的系数;(2)求的展开式中的系数及二项式系数解:(1)的展开式的第四项是,的展开式的第四项的系数是(2)的展开式的通项是,的系数,的二项式系数例3已知,求:(1); (2); 解:(1)当时,展开式右边为,当时,(2)令, 令, 得:, .