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1、第二章综合检测题 时间 120 分钟 满分150 分 一 选择题 本大题共12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的 1 若直线a和b没有公共点 则a与b的位置关系是 A 相交B 平行 C 异面D 平行或异面 2 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 3 已知平面 和直线l 则 内至少有一条直线与l A 平行B 相交C 垂直D 异面 4 长方体ABCD A1B1C1D1中 异面直线AB A1D1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 5 对两条不相交的空间
2、直线a与b 必存在平面 使得 A a b B a b C a b D a b 6 下面四个命题 若直线a b异面 b c异面 则a c异面 若直线a b相交 b c相交 则a c相交 若a b 则a b与c所成的角相等 若a b b c 则a c 其中真命题的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 7 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是线段A1B1 B1C1上的不与端点重合的动点 如果A1E B1F 有下面四个结论 EF AA1 EF AC EF与AC异面 EF 平面ABCD 其中一定正确的有 A B C D 8 设a b为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 下列命题中为真命
3、题的 是 A 若a b与 所成的角相等 则a b B 若a b 则a b C 若a b a b 则 D 若a b 则a b 9 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直线 m n 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB mB AC m C AB D AC 10 2012 大纲版数学 文科 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1 CC1的 中点 那么直线AE与D1F所成角的余弦值为 A 4 5 B 3 5 C 3 4 D 3 5 11 已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等 且AB AC 3 BC 2 则以BC为棱 以面BCD与面BCA为面的
4、二面角的余弦值为 A 3 3 B 1 3 C 0 D 1 2 12 如图所示 点P在正方形ABCD所在平面外 PA 平面ABCD PA AB 则PB与AC 所成的角是 A 90 B 60 C 45 D 30 二 填空题 本大题共5 小题 每小题5 分 共 25 分 把答案填在题中的横线上 13 下列图形可用符号表示为 14 正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角C1 AB C的平面角等于 15 设平面 平面 A C B D 直线AB与CD交于点S 且点S位于平 面 之间 AS 8 BS 6 CS 12 则SD 16 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C 有如下四个结论 AC
5、 BD ACD是等边三角形 AB与平面BCD成 60 的角 AB与CD所成的角是60 其中正确结论的序号是 三 解答题 本大题共6 个大题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 如下图 在三棱柱ABC A1B1C1中 ABC与 A1B1C1都为正三角形且AA1 面 ABC F F1分别是AC A1C1的中点 求证 1 平面AB1F1 平面C1BF 2 平面AB1F1 平面ACC 1A1 分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理 寻找使结论成立的 充分条件 18 本小题满分12 分 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD AB 4 B
6、C 3 AD 5 DAB ABC 90 E是CD的中点 1 证明 CD 平面PAE 2 若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等 求四棱锥P ABCD 的体积 19 12 分 如图所示 边长为2 的等边 PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面 BC 22 M为BC的中点 1 证明 AM PM 2 求二面角P AM D的大小 20 本小题满分12 分 2010 辽宁文 19 如图 棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱 形 B1C A1B 1 证明 平面AB1C 平面A1BC1 2 设D是A1C1上的点 且A1B 平面B1CD 求A1DDC1的值 21 12
7、分 如图 ABC中 AC BC 2 2 AB ABED是边长为1 的正方形 平面ABED 底面ABC 若G F分别是EC BD的中点 1 求证 GF 底面ABC 2 求证 AC 平面EBC 3 求几何体ADEBC的体积V 分析 1 转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC 2 转化为证明AC垂直于平面 EBC内的两条相交直线BC和BE 3 几何体ADEBC是四棱锥C ABED 22 12 分 如下图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 点D是AB的中点 1 求证 AC BC1 2 求证 AC1 平面CDB 1 3 求异面直线AC1与B1C所成角的余
8、弦值 详解答案 1 答案 D 2 答案 C 解析 AB与CC1为异面直线 故棱中不存在同时与两者平行的直线 因此只有两类 第一类与AB平行与CC1相交的有 CD C1D1 与CC1平行且与AB相交的有 BB1 AA1 第二类与两者都相交的只有BC 故共有 5 条 3 答案 C 解析 1 直线l与平面 斜交时 在平面 内不存在与l平行的直线 A错 2 l 时 在 内不存在直线与l异面 D错 3 l 时 在 内不存在直线与l相交 无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与l垂直 4 答案 D 解析 由于AD A1D1 则 BAD是异面直线AB A1D1所成的角 很明显 BAD 90 5 答案 B 解析
9、 对于选项A 当a与b是异面直线时 A错误 对于选项B 若a b不相交 则a与b平行或异面 都存在 使a b B正确 对于选项C a b 一定有a b C错误 对于选项D a b 一定有a b D错误 6 答案 D 解析 异面 相交关系在空间中不能传递 故 错 根据等角定理 可知 正确 对于 在平面内 a c 而在空间中 a与c可以平行 可以相交 也可以异面 故 错 误 7 答案 D 解析 如图所示 由于AA1 平面A1B1C1D1 EF 平面A1B1C1D1 则EF AA1 所以 正 确 当E F分别是线段A1B1 B1C1的中点时 EF A1C1 又AC A1C1 则EF AC 所以 不正
10、 确 当E F分别不是线段A1B1 B1C1的中点时 EF与AC异面 所以 不正确 由于平面A1B1C1D1 平面ABCD EF 平面A1B1C1D1 所以EF 平面ABCD 所以 正确 8 答案 D 解析 选项 A中 a b还可能相交或异面 所以A是假命题 选项B中 a b还可能 相交或异面 所以 B是假命题 选项 C中 还可能相交 所以 C是假命题 选项 D中 由于a 则a 或a 则 内存在直线l a 又b 则b l 所以 a b 9 答案 C 解析 如图所示 AB l m AC l m l AC m AB l AB 10 答案 3 5 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解
11、的运用 解析 首先根据已知条件 连接DF 然后则角DFD1即为 异面直线所成的角 设边长为2 则可以求解得到 5 DF D1F DD1 2 结合余弦定理得到结论 11 答案 C 解析 取BC中点E 连AE DE 可证BC AE BC DE AED为二面角A BC D 的平面角 又AE ED 2 AD 2 AED 90 故选C 12 答案 B 解析 将其还原成正方体ABCD PQRS 显见PB SC ACS为正三角形 ACS 60 13 答案 AB 14 答案 45 解析 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 由于BC AB BC1 AB 则 C1BC是二面 角C1 AB C的平面角 又
12、 BCC1是等腰直角三角形 则 C1BC 45 15 答案 9 解析 如下图所示 连接AC BD 则直线AB CD确定一个平面ACBD AC BD 则 AS SB CS SD 8 6 12 SD 解得SD 9 16 答案 解析 如图所示 取BD中点 E连接AE CE 则BD AE BD CE 而AE CE E BD 平面AEC AC 平面AEC 故AC BD 故 正确 设正方形的边长为a 则AE CE 2 2 a 由 知 AEC 90 是直二面角A BD C的平面角 且 AEC 90 AC a ACD是等边三角形 故 正确 由题意及 知 AE 平面BCD 故 ABE是AB与平面BCD所成的角
13、而 ABE 45 所以 不正确 分别取BC AC的中点为M N 连接ME NE MN 则MN AB 且MN 1 2AB 1 2a ME CD 且ME 1 2CD 1 2a EMN是异面直线AB CD所成的角 在 Rt AEC中 AE CE 2 2 a AC a NE 1 2AC 1 2a MEN是正三角形 EMN 60 故 正确 17 证明 1 在正三棱柱ABC A1B1C1中 F F1分别是AC A1C1的中点 B1F1 BF AF1 C1F 又 B1F1 AF1 F1 C1F BF F 平面AB1F1 平面C1BF 2 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面A1B1C1 B1F1 A
14、A1 又B1F1 A1C1 A1C1 AA1 A1 B1F1 平面ACC1A1 而B1F1 平面AB1F1 平面AB1F1 平面ACC1A1 18 解析 1 如图所示 连接AC 由AB 4 BC 3 ABC 90 得AC 5 又AD 5 E是CD的中点 所以CD AE PA 平面ABCD CD 平面ABCD 所以PA CD 而PA AE是平面PAE内的两条相交直线 所以CD 平面PAE 2 过点B作BG CD 分别与AE AD相交于F G 连接PF 由 1 CD 平面PAE知 BG 平面PAE 于是 BPF为直线PB与平面PAE所成的角 且BG AE 由PA 平面ABCD知 PBA为直线PB与
15、平面ABCD所成的角 AB 4 AG 2 BG AF 由题意 知 PBA BPF 因为 sin PBA PA PB sin BPF BF PB 所以PA BF 由 DAB ABC 90 知 AD BC 又BG CD 所以四边形BCDG是平行四边形 故GD BC 3 于是AG 2 在 Rt BAG中 AB 4 AG 2 BG AF 所以 BG AB 2 AG2 2 5 BF AB 2 BG 16 25 85 5 于是PA BF 85 5 又梯形ABCD的面积为S 1 2 5 3 4 16 所以四棱锥 P ABCD的体积为 V 1 3 S PA 1 3 16 85 5 128 5 15 19 解析
16、 1 证明 如图所示 取CD的中点E 连接PE EM EA PCD为正三角形 PE CD PE PDsin PDE 2sin60 3 平面PCD 平面ABCD PE 平面ABCD 而AM 平面ABCD PE AM 四边形ABCD是矩形 ADE ECM ABM均为直角三角形 由勾股定理可求得EM 3 AM 6 AE 3 EM 2 AM 2 AE 2 AM EM 又PE EM E AM 平面PEM AM PM 2 解 由 1 可知EM AM PM AM PME是二面角P AM D的平面角 tan PME PE EM 3 3 1 PME 45 二面角P AM D的大小为45 20 解析 1 因为侧面BCC 1B1是菱形 所以B1C BC1 又已知B1C A1B 且A1B BC1 B 所以B1C 平面A1BC1 又B1C 平面AB1C 所以平面AB1C 平面A1BC1 2 设BC1交B1C于点E 连接DE 则DE是平面A1BC1与平面 B1CD的交线 因为A1B 平面B1CD A1B 平面A1BC1 平面A1BC1 平面B1CD DE 所以A1B DE 又E是BC1的中点 所以D为A1C1的中
