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1、上海市2012届一模卷填、选较难题详解CM(崇明)13.观察右图从上而下，其中2012第一次出现在第 672 行，第 1341 列解：第k行共有2k-1个连续正整数，第1个数为k，第2k-1个为k+2k-2=3k-2，2011=3*671-2，2011第一次出现在第671行，第2011-670=1341列，2012第一次出现在第672行，第2012-671=1341列.14.定义：对于定义域为D的函数f (x)，如果存在tD，使得f (t+1)=f (t)+f (1)成立，称函数f (x)在D上是“T”函数. 已知下列函数：f (x)=；f (x)=；f (x)=(x0)；f (x)=cosx
2、(x0,1)，其中属于“T”函数的序号是 (写出所有满足要求的函数的序号)解：f (x)=，t=t+1+t2+t t2+t+1=0，0，无实数解，不是；=+，0，是；cos (t+1)= cost+ cos= cost-1 cos(t+)= cost-1-cost= cost-1 cost=t0, )，t =t=，是.CY(长宁)13. 已知函数f(x)的定义域为R，且对任意xZ，都有f(x)=f(x-1)+f(x+1)，若f(-1)=2，f(1)=3，则f(2012)+f(-2012)= -5 .解：f(x+1)=f(x)-f(x-1)=f(x-1)-f(x-2)-f(x-1)=-f(x-2
3、)，即f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，T=6，f(2012)+f(-2012)=f(6*335+2)+f(-2012+6*336)=f(2)+f(4)=f(3)=f(2)-f(1)=-f(0)=-5.14.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则1028第n行有n个数，最后上个是n2,452=2025,2011在第45行的倒数第8个,n=1+2+45-7=1028FX（奉贤)12. 有这么一个数学问题：“已知奇函数的定义域是一切实数,且，求的
4、值”。请问的值能否求出，若行，请求出的值；若不行请说明理由(只需说理由). .解：不行，因为奇函数不一定是x与y对应的，如y=2sinx，使y=2的x值有无穷多个.13.对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列。设 ，数列前项的和分别记为，则三者的关系式 .解：显然余数r102，不满足题意，因此k13从ak到a13共13-(k-1)=14-k项，从a14到ak+19共k+19-13=k+6项，ak+ak+1+ak+19=(13-k)+(12-k)+(11-k) +1+0+1+2+(k+6)=102 (13-k)(14-k)+(k+6)(k+7)=
5、204k2-27k+182+k2+13k+42=2042k2-14k+20=0k2-7k+10=0k=2或k=5.14.设函数,xOy11f1(x)f1(x)图1：n=1时则方程有 2n+1 个实数根.解：令，问题化为观察与图像的交点有几个. 由于是偶函数，故是偶函数，只要考虑 x0时的交点个数. n=1时，的图像是把的图像下移，再把x轴下的图像往上翻而得，有1个零点，xOy11f1(x)f2(x)图2：n=2时以零点为界，呈“减增”状态，最后趋于，如图1，有2个交点；n=2时，的图像是把的图像下移，再把x轴下的图像往上翻而得，有2个零点，以2个零点为界，呈“减增减增”状态，最后趋于，如图2，
6、有22个交点；n= n2时，且有2n-1个零点以2n-1个零点为界，呈“减增减增减增”状态，最后趋于，故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，有2*2n-1=2n个交点，再由对称性知x0)上，另一个顶点(2p,0)，这样的正三角形有（ C ）A0个 B2个 C4个 D1个解：两个顶点对称于x轴的2个正三角形是明显的，现考虑两个顶点不对称于x轴的正三角形是否存在.设P(2p,0)，过P作直线l，l是正三角形过顶点P的高所在的直线，则l的斜率k存在且不为零，xOPyllABH故l的方程为y=k(x-2p)，设与l垂直的直线为l：y=-x+b，第一步：让l与y2=2px有交点A、B，且A、B关
7、于l对称：联立：，由(1)，x=kb-ky (3)，代入(2)中，得 y2=2p(kb-ky) y2+2pky-2pkb=0，=4p2k2+8pkb0k(pk+2b)0 (4). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点H(x0,y0)，则y0=-pk，x0=kb-ky0= kb+k2p，又H也在l上，代入l方程，得-pk=k(kb+k2p-2p)-p=kb+k2p-2p k2p+ kb-p=0(5)，即x0=p，H(p, -pk).第二步，让PAB为正三角形：|PH|=,|AB|=|y1-y2|=，要使PAB为正三角形，则|PH|=|AB|=p= p2=3(p2+)3b+pk=0 b=
8、-，代入(4) k(pk-)=0成立，代入(5) k2p+ k(-)-p=02k2p=3p k=，故这样的正三角形又有2个. 共有4个.xy1-1y=g(x)y=f(x)-2+a2+a-48HK(虹口)13. 已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 -2, 6 解：当x-1,1时，设f(x)的值域为F，g(x)的值域为G，则F=-2+a, 2+a，而，在-1,1上递减，G=-4,8，题意即是：对于F中的每一个yf，总的G中的yg与yf相等，如图，故有-2a6.14.已知，成等差数列，则；中，正确的是 （填入序号）解：=+2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|
9、22|bc|ab|=2|ac|b2|ac|b2，、错， 而，对.17.定义在上的函数，当时，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（ ） 解：，x(5, 7x-6(-1, 1，当x-6=，时有最小值为.18.已知集合，若，则实数的取值范围是（ B ）13mnxy=g(x)y=f(x) 解：A=(1,3)，B中，令f (x)=21-x+a，g(x)=x2-2(a+7)x+5，BA=(1,3)，可令B=m, n，则m1且n3，如图可知：-4a-1，选B.HP(黄浦)13一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到
10、个白球的概率是 11/14 (用数值作答)解：p=1-=xyO1 -1 14. (理科)已知函数，m是非零常数，关于x的方程f(x)=m(mR)有且仅有三个不同的实数根，若、分别是三个根中的最小根和最大根，则sin(+)= 解：画出f(x)的图像如左，方程f(x)=m有且仅有三个不同的实数根，则m=1， 最大根=，最小根是方程x2+x=1的小根， 解得=，sin(+)=sin(+)=.JA(静安)xyO3 y=g(x) y=h(x) 13.记，已知函数是偶函数(为实常数)，则函数的零点为 1, 3 .(写出所有零点)解：令h(x)=x2+2tx+t2-1，g(x)=x2-4x+3，先画出函数g
11、(x)=(x-2)2-1的图像，h(x)、g(x)的图像都可以由y=x2的图像平移面得，h(x)与g(x)的图像相同， 故要使f (x)为偶函数，则h(x)与g(x)的图像应关于 y轴对称，从而h(x)与g(x)的零点也关于y轴对称， 易知g(x)=x2-4x+3的零点为1、3，h(x)的零点为-1、-3.14.已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是 .x1a-1解：若-1a1，则，其图像呈“剑”形，如图，对称轴为x=a，则a=0，同理：若a1时，对称轴是x=1，-1+a=2a=3.18.若，则x、y满足的条件是( B )(A)x=y且x0 (B)x=y且x0或x=-y且x0 (
12、C)xy且x0 (D)x=y且xb0)）被围于由条直线x=-a，y=-b所围成的矩形ABCD内，任取椭圆上一点P，若(、)，则、满足的一个等式是 m2+n2=1/2 解：设P(x,y)，由(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an, bm+bn)m2+n2=. 1 3，5 7，9，11 13，15，17，19 14将正奇数排成下图所示的三角形数表： 其中第i行第j个数记为(、)，例如，若，则 61 解：第i行有i个数，由数表结构知，最后一个数aii=i(i+1)-1，令aii2011i(i+1) 2012i45，i=45时，a4545=45*46-1=2069，设a45j=2011，则a4545-a45j=(45-j)*22069-2011=(45-j)*2j=16，i+j=61.Oab
