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1、 第3章机器人运动学 3 1机器人的位姿描述3 2齐次变换及运算3 3机器人运动学方程3 4机器人微分运动习题 第3章机器人运动学 运动学研究的问题 手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系 正问题 已知关节运动 求手的运动 逆问题 已知手的运动 求关节运动 数学模型 手的运动 位姿变化 位姿矩阵M关节运动 参数变化 关节变量qi i 1 n运动学方程 M f qi i 1 n正问题 已知qi 求M 逆问题 已知M 求qi 第3章机器人运动学 3 1 1机器人位姿的表示3 1 2机器人的坐标系 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 1机器人位姿的表示机器人的位姿主要是指机器人手部
2、在空间的位置和姿态 有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位置和姿态 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 1机器人位姿的表示位置可以用一个3 1的位置矩阵来描述 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 1机器人位姿的表示姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值组成3 3的姿态矩阵来描述 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 1机器人位姿的表示例 右图所示两坐标系的姿态为 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 2机器人的坐标系手部坐标系 参考机器人手部的坐标系 也称机器人位姿坐标系 它表示机器人手部在指定坐标系中的位置和姿态 机座坐标系 参
3、考机器人机座的坐标系 它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系 杆件坐标系 参考机器人指定杆件的坐标系 它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系 随杆件的运动而运动 绝对坐标系 参考工作现场地面的坐标系 它是机器人所有构件的公共参考坐标系 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 1 2机器人的坐标系手部坐标系 h 机座坐标系 0 杆件坐标系 i i 1 n绝对坐标系 B 3 1机器人的位姿描述 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换3 2 2齐次坐标变换 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 坐标之间的变换关系 平移变换旋转变换 3 2齐次变换及运算 第
4、3章机器人运动学 1 平移变换设坐标系 i 和坐标系 j 具有相同的姿态 但它俩的坐标原点不重合 若用矢量表示坐标系 i 和坐标系 j 原点之间的矢量 则坐标系 j 就可以看成是由坐标系 i 沿矢量平移变换而来的 所以称矢量为平移变换矩阵 它是一个3 1的矩阵 即 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 1 平移变换若空间有一点在坐标系 i 和坐标系 j 中分别用矢量和表示 则它们之间有以下关系 称上式为坐标平移方程 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换设坐标系 i 和坐标系 j 的原点重合 但它俩的姿态不同 则坐标系 j 就
5、可以看成是由坐标系 i 旋转变换而来的 旋转变换矩阵比较复杂 最简单的是绕一根坐标轴的旋转变换 下面以此来对旋转变换矩阵作以说明 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换绕z轴旋转 角坐标系 i 和坐标系 j 的原点重合 坐标系 j 的坐标轴方向相对于坐标系 i 绕轴旋转了一个 角 角的正负一般按右手法则确定 即由z轴的矢端看 逆时钟为正 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换绕z轴旋转 角若空间有一点p 则其在坐标系 i 和坐标系 j 中的坐标分量之间就有以下关系 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2
6、1直角坐标变换 2 旋转变换绕z轴旋转 角若补齐所缺的有些项 再作适当变形 则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换绕z轴旋转 角将上式写成矩阵的形式 则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换 绕z轴旋转 角再将其写成矢量形式 则有 称上式为坐标旋转方程 式中 p点在坐标系 i 中的坐标列阵 矢量 p点在坐标系 j 中的坐标列阵 矢量 坐标系 j 变换到坐标系 i 的旋转变换矩阵 也称为方向余弦矩阵 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换 旋转变换矩阵 也称为方向余弦
7、矩阵 是一个3 3的矩阵 其中的每个元素就是坐标系 i 和坐标系 j 相应坐标轴夹角的余弦值 它表明坐标系 j 相对于坐标系 i 的姿态 方向 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换 绕x轴旋转 角的旋转变换矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换 绕y轴旋转 角的旋转变换矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换旋转变换矩阵的逆矩阵旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求出 也可以用逆向的坐标变换求出 以绕z轴旋转 角为例 其逆向变换即为绕z轴旋转 角 则其旋
8、转变换矩阵就为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 2 旋转变换旋转变换矩阵的逆矩阵比较以下两式 结论 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 3 联合变换设坐标系 i 和坐标系 j 之间存在先平移变换 后旋转变换 则空间任一点在坐标系 i 和坐标系 j 中的矢量之间就有以下关系 称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 3 联合变换若坐标系 i 和坐标系 j 之间是先旋转变换 后平移变换 则上述关系是应如何变化 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变
9、换 例 已知坐标系 B 的初始位置与坐标系 A 重合 首先坐标系 B 沿坐标系 A 的x轴移动12个单位 并沿坐标系 A 的y轴移动6个单位 再绕坐标系 A 的z轴旋转30 求平移变换矩阵和旋转变换矩阵 假设某点在坐标系 B 中的矢量为 求该点在坐标系 A 中的矢量 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 解 由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为 则 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 1直角坐标变换 1 齐次坐标的定义空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用表示 若有四个不同时为零的数与三个直角坐标分量之间存在以下关系 则称是空间该点的齐次坐标
10、 3 2 2齐次坐标变换 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 1 齐次坐标的定义齐次坐标的性质 空间中的任一点都可用齐次坐标表示 空间中的任一点的直角坐标是单值的 但其对应的齐次坐标是多值的 k是比例坐标 它表示直角坐标值与对应的齐次坐标值之间的比例关系 若比例坐标k 1 则空间任一点 x y z 的齐次坐标为 x y z 1 以后用到齐次坐标时 一律默认k 1 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 若坐标系 j 是 i 先沿矢量平移 再绕z轴旋转 角得到的 则空间任一点在坐标系 i 和坐标系 j 中的矢量和对应的变换矩阵之间就有
11、 写成矩阵形式则为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 再用坐标分量等式表示 则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 引入齐次坐标 补齐所缺各项 再适当变形 则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 再将其写成矩阵形式则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 由此可得联合变换的齐次坐标方程为 式中 齐次坐标变换矩阵 它是一个4 4的矩阵 3 2齐次变换及运
12、算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 齐次坐标变换矩阵的意义若将齐次坐标变换矩阵分块 则有 意义 左上角的3 3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵 它描述了姿态关系 右上角的3 1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵 它描述了位置关系 所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 齐次坐标变换矩阵的意义齐次变换矩阵的通式为 式中 j 的原点在 i 中的坐标分量 j 的x轴对 i 的三个方向余弦 j 的y轴对 i 的三个方向余弦 j 的z轴对 i 的三个方向余弦 3 2齐次
13、变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 单独的平移或旋转齐次坐标变换矩阵平移变换的齐次矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 单独的平移或旋转齐次坐标变换矩阵旋转变换的齐次矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 单独的平移或旋转齐次坐标变换矩阵同理可得 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 联合变换与单步齐次变换矩阵的关系观察以下三个齐次变换矩阵的关系 3 2齐次变
14、换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 联合变换与单步齐次变换矩阵的关系经观察可得 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 联合变换与单步齐次变换矩阵的关系任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积 即 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 联合变换与单步齐次矩阵的关系当空间有n个坐标系时 若已知相邻坐标系之间的齐次变换矩阵 则 由此可知 建立机器人的坐标系 将机器人手部在空间的位姿用齐次坐标变换矩阵描述出
15、来 从而建立机器人的运动学方程 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 相对变换坐标系之间多步齐次变换矩阵等于每次单独变换的齐次变换矩阵的乘积 而相对变换则决定这些矩阵相乘的顺序 其分为左乘和右乘 若坐标系之间的变换是始终相对于原来的参考坐标系 则齐次坐标变换矩阵左乘 若坐标系之间的变换是相对于当前新的坐标系 则齐次坐标变换矩阵右乘 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 相对变换例 已知坐标系 B 是绕坐标系 A 的zA轴旋转90 再绕 A 的xA轴旋转90 最后沿矢量 平移得到的
16、 求坐标系 A 与坐标系 B 之间的齐次坐标变换矩阵 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 相对变换解 由题意可知满足左乘原则 即有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 相对变换解 若满足右乘原则 则有 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 逆变换已知 i 通过先平移 后旋转变成 j 则变换矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 逆变换逆变换时 变换顺序颠倒 先平移 后旋转 先旋转 后平移 变换参数取反 旋转 平移 px py pz px py pz 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 逆变换则 j 到 i 的变换矩阵为 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2 齐次变换矩阵 D H矩阵 逆变换 3 2齐次变换及运算 第3章机器人运动学 3 2 2齐次坐标变换 2
