第02章 受迫振动ppt课件

《第02章 受迫振动ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第02章 受迫振动ppt课件（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章受迫振动 2 1线性系统的受迫振动 2 2几个简化的实际例子 2 3任意周期激励的响应 2 4非线性系统的受迫振动 2 5线性系统的瞬态响应 第二章受迫振动 系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动 系统的受迫振动状态称为响应 激励既可以是外界提供的直接的力 力偶 也可能是间接作用因素 如温度 电磁场 位移等变化 按激励随时间的变化形式 可分为周期 瞬态和随机激励 本章学习周期和瞬态激励下 系统响应的求解方法和规律 2 1线性系统的受迫振动 1 简谐激励的受迫振动 简谐激励力写成复数形式为 阻尼系统受迫振动方程为 这是一个线性常系数非齐次常微分方程 激励项显含时间变量t 因此系统成为非自治

2、系统 线性方程的解可用叠加法 即方程的全解 齐次通解 非齐次特解 齐次通解上一章已求出 为 2 1 非齐次特解用试凑法 设特解为 代入 2 1 得 H w 是激励频率w的复变函数 称为系统的频率响应函数 简称频响函数 H w 写成指数形式为 于是特解为 2 2 2 4 2 3 方程 2 1 的全解为为 2 5 上式右边第一项随时间衰减 称为暂态响应 第二项是持续振动 称为稳态响应 待定常数A j由初始条件确定 系统的最后振动状态只剩下稳态响应 下面研究稳态响应与频率的关系 稳态振动 2 4 的频率与激励频率相同 振幅 X 和相位差q是激励频率的函数 由 2 3 2 4 式 将它们写成无量纲参数

3、形式 幅频特性 相频特性 幅频特性曲线和相频特性曲线如图2 2 2 6 2 7 图2 2幅频特性曲线和相频特性曲线 由图可见 对于小阻尼和无阻尼情况 在s 1附近 放大因子有明显的极大值 这种现象称为共振 对应的激励频率称共振频率 附近的幅频特性曲线称为共振峰 共振频率的准确值由db ds 0导出 当阻尼较小时 共振频率近似等于固有频率 因此 对受迫振动 固有频率同样是一个重要的系统参数 共振峰的高度为 幅频曲线 已没有共振峰 因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定 定量关系由系统品质因数Q描述 2 8 2 9 2 10 显然 对小阻尼系统 可得 2 11 2 12 Dw称为系统的带宽

4、2 11 2 12 式表明 品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度 即Q越大 则共振峰越高 越陡削 当系统的激励为正弦函数和余弦函数时 方程 2 1 的解为 2 13 2 14 上式中各个参数重写如下 2 受迫振动的过渡过程 系统从开始受到激励到稳态振动 有一个过程 称为过渡过程 研究过度过程有实际意义 如机器的通过共振问题 为简单起见 只说明无阻尼系统的过度过程 在 2 13 式中 令阻尼等于零 得全解为 上式右边第一 二项是由初始条件引起的自由振动 第三项是激励作用下的稳态振动 第四项是激励引起的自由振动 这一项需要特别注意 振动的时间历程曲线如图2 4 2 16 2 15 在实际

5、系统中 总有阻尼存在 2 16 式中的第一 二项会很快衰减 当激励频率与固有频率接近时 会出现一种特殊的振动现象 即拍振现象 解释如下 令s 1 2e 上述条件下 2 16 式变为 因此 x可看成是振幅 X t 按慢频率 慢节拍 周期变化 振幅不恒定 慢变 位移按快频率变化 位移快变 的周期振动 时间历程曲线如图2 5 2 17 当激励频率等于系统的固有频率时 即共振时 从 2 15 式看 系统的稳态解为 但再经仔细研究 无穷大的振幅不是瞬间达到的 而是逐渐建立的 实际上 这时特解的假设模式应改为如下形式 代入无阻尼受迫振动方程 得 即 由此得无阻尼受迫振动方程的特解为 2 18 图2 6 例

6、2 1在图示系统中 已知m c k1 k2 f0和w 求系统动力学方程和稳态响应 解 由Newton第二定律 得 由 2 式解出x1代入 1 式 得到关于x得系统动力学方程 设方程 3 右边两项对应的稳态复数解分别为和 得 其中 所以 返回得实数解为 解 用Lagrange方程建立系统动力学程 取广义坐标q 本题为完整非定常系统 由Lagrange方程有 即 由题设有 并认为 稳态解为 而 方程 1 变为 2 所以 例2 3汽车拖车可简化为图所示的力学模型 其中m c k和l已知 拖车的质量为m 以匀速v在不平的路面上行驶 路面形状设由给出 x vt 拖车对与汽车的连接点O的转动惯量为J 轮质

7、量不计 yo远小于l因而认为O点无垂直位移 求拖车振幅达到最大值时拖车的速度 解 以O点为动矩心 应用相对运动动量矩定理得 2 2几个简化的实际例子1 惯性测振仪 惯性测振仪如图2 7所示 被测物体的振动 基础振动 使测振仪中的弹簧 质量振子振动 用记录仪将振子的相对运动记录下来 就可给出被测物体的振动 振子相对位移x的振动方程为 2 20 2 19 其中 图2 8所示为放大率X B 相角与频率比的曲线 作为动态测量仪器 一般要求放大率和相角 相位差 近似为常值 由图可见 z 0 7的几条曲线在高频率比区域基本上能满足这一要求 实际上 此时式 2 21 在高频率比区域近似为 2 21 式 2

8、20 近似为 因此 按高频率比设计的测振仪测出的是振动位移 z 0 7时 式 2 21 在低频率比区域近似为 式 2 20 近似为 因此 按低频率比设计的测振仪测出的是振动加速度 鉴于上述原因 一般测振仪的阻尼比取值z 0 7 2 振动的隔离 前面已经看到 弹性 阻尼元件能改变振动系统的振动特性 因此可以对系统附加弹性 阻尼元件来改变振动的传递特性 即隔振 在振动设备与地基之间采取隔振措施 使传到地基的振动力减小 称为主动隔振 反之 使振动地基传到设备的振动减小 称为被动隔振 图2 9为隔振模型 1 对主动隔振 假设设备上产生简谐振动力为F t F0eiwt 如果不隔振 振动力1 1传到地基

9、隔振后 系统的振动方程为 幅频特性为 图2 9 传到地基的力为 2 对被动隔振 假设地面的位移振动为y t Yeiwt 如果不隔振 振动力1 1传到设备 隔振后 系统的振动方程为 可见 主 被动隔振的隔振系数表达式是相同的 但前者是力的传递系数 后者是位移地传递系数 隔振系数的幅频 相频曲线如图2 10 由图可见 设计隔振系统时 要选取弹性元件使频率比大于2 5或3 再按共振峰的削减要求选取阻尼元件 频率比s 3 转子的临界转速 图2 11为简化的柔轴偏心转子 其质心运动微分方程为 2 22 在小阻尼条件下 当s 1时 系统共振 振幅达到最大 使系统达到共振的转速称为转子的临界转速 当s 时

10、b1 1 q1 p 这时转子的质心与轴线上O点重合 这种现象称为自动定心现象 因为式中各矢量是xy平面内的平面矢量 故可用复数代替 方程 2 22 变为复微分方程 2 23 与测振仪的方程形式完全相同 设特解为r A1exp wt q1 由 2 21 式 振幅放大因子和相角为 2 3任意周期激励的响应 1 谐波分析法 当激励F t 为周期函数时 可将其展成Fourier级数 其中 Fn称为F t 的离散频谱 Fn nw的图形称为频谱图 2 24 对实周期函数F t 将其展成实Fourier级数往往更方便 其中 实际上 以上所有积分中的积分区间只要任意取一个周期即可 另外 F t 如果是偶函数

11、F t 可展成余弦级数 F t 如果是奇函数 F t 可展成正弦级数 2 25 F t 激励下的线性系统的振动方程可写为 根据线性系统的叠加原理 方程 2 26 的解为 2 26 其中 2 27 以上将周期函数展成Fourier级数的分析方法称为谐波分析法 例2 4如图所示的系统 在凸轮的作用下受到图2 12b所示的锯齿波纹形支承运动的激励 已知m c k1 k2 w和a 求稳态响应 解 系统动力学方程为 2 4非线性系统的受迫振动 1 谐波平衡法 设非线性系统受到任意周期激励的激励 动力学方程为 2 28 设F t 是均值为零的偶函数 因此可展成余弦级数 方程 2 28 写成 2 29 对于

12、非线性系统 叠加原理不适用 因此对方程 2 29 只能根据具体情况 求其近似解析解 半解析解 或数值解 假定对方程 2 29 存在周期解或拟周期解 近似周期解 并设解的均值为零 那么可将解假设成Fourier级数 2 30 期的周期函数 可展成Fourier级数 再令方程两边同阶谐波的系数相等 可定出an和qn 非线性振动方程的这种解法称为谐波平衡法 一般只确定解的前一 二阶谐波项 谐波平衡法是一种正交级数解法 式 2 30 也可以假设成其它正交级数 但一般不易找到合适的正交级数 谐波平衡法的缺点是事先不知道解的展式中要取多少项 对某些问题 项数取得不够 精度会很差 2 用谐波平衡法求解Duf

13、fing方程的受迫振动 简谐激励的欠阻尼Duffing方程的标准形式为 方程右端为一个周期函数 方程的解应使得左端的结果也应该是一个相同的周期函数 考察左端的四项可知 如果将方程的解假设成一个与右端频率相同的周期函数 那么方程的左端的结果为相同频率的周期函数 但该周期函数的形状与右端的一般不会相同 因此可以预计 将方程 2 31 的解假设成一个与右端频率相同的周期偶函数 是一个正确的开端 接下来的任务是使方程两边的周期函数的形状尽量接近相同 根据上述分析 用一个不含常数项 基频为w的Fourier级数去逼近方程 2 31 的解是合适的 至少是值得一试的 我们取一阶谐波作为近似解 设 2 31

14、代入 2 31 得 2 32 两式平方和 得 代入C D的表达式 得 令方程 2 31 两边一阶谐波的系数相等 得 2 34 由 2 34 解出幅频特性方程为 相频特性方程由 2 33 得 2 35 2 36 为了由 2 35 式画出幅频特性曲线 分析如下 1 明确s A 0 2 曲线 2 37 称为脊骨曲线 它将幅频特性曲线分为左 右两个分支 3 当A的某个值使得 2 35 式中的根式为零时 s的两个值相等 幅频曲线的两个分支在脊骨曲线上某点汇交 这时A达到边界值Ac 由下式确定 2 38 求解 得 因此 画幅频特性曲线的步骤如下 1 画出脊骨曲线 2 由 2 39 式求出Ac 并在脊骨曲线

15、上标出Ac的位置 3 从A Ac值出发 在A值的变化范围内 由 2 38 式画出幅频曲线的两个分支 幅频特性曲线的示意图如图2 12 2 39 3 振幅跳跃现象 如图2 13 当激励频率从低到高缓慢变化时 振幅的值沿着分支1变化 一直到幅频曲线的顶点 然后振幅突变 跳到分支2上继续变化 整个路径如绿色箭头所指 当激励频率从高到低缓慢变化时 整个路径如橙色箭头所指 因此 分支2上的CD段曲线是不能实现的 如果将相频特性曲线画出 会发现相位的变化将与幅值同步跳跃 由于跳跃现象是系统运动状态在某一参数临界值上的突变 因此是一种动态分岔现象 只有非线性系统才有这种现象 例2 5 P53题2 13 用谐

16、波平衡法确定单自由度非线性受迫振动系统的幅频曲线方程 2 1 代人方程 得 3 例2 6当e充分小时 为确定非线性受迫振动系统幅值为a的共振解 可用线性受迫振动系统等效代替谐波原非线性系统 这一方法称为等效线性化法 分别用谐波平衡 能量平衡和误差平方累计最小三种方法 证明 1 2 3 4 按能量平衡原则 令非线性力与线性力在一个周期内的平均功率相等 有 5 即 例2 7单自由度系统的动力学方程为 其中f x 分别由图a b和c给出 用谐波平衡法求振幅为A时自由振动固有频率的近似值 解 图a b为图c的两种特殊情况 因此 我们对图c的一般情况进行求解 设系统的一阶近似解为 1 系统动力学方程 得 2 显然 f为f的偶函数 同时由f x 的特征 得 因此 f为f的以2p为周期 零均值的周期偶函数 由此可将f展成f的余弦级数 设 3 其中 由式 1 得 将此代入式 4 并利用 1 式作变量代换 得 5 4 下面计算 4 式中的两个积分 将I1 I2代入 4 式 得 6 将 6 式代入 3 式 再代入 2 式 令各界谐波动系数等于零 得 注 在上述结果中 令k1 k k2 0 即得对应于图a的