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1、高中数学选修2 1 第一章常用逻辑用语之知识整合与学段复习 2课时 命题及其关系 全称量词存在量词 充分条件必要条件充要条件 简单的逻辑联结词 且 或 非 注 1 互为 的 2 原命题与其逆否命题同真同假 3 逆命题与否命题同真同假 原命题若p 则q 逆否命题若 q 则 p 否命题若 p 则 q 逆命题若q 则p 互逆 互否 互否 互逆 互为逆否 同真同假 例2 将命题 a 0时 函数y ax b的值随x值的增加而增加 改写成 若p则q 的形式 并写出否命题 解法一 原命题改为 a 0时 若x增加 则函数y ax b的值随之增加 否命题为 a 0时 若x不增加 则函数y ax b的值也不增加
2、解法二 原命题也可改为 当x增加时 若a 0 则函数y ax b的值随之增加 否命题为 当x增加时 若a 0 则函数y ax b的值不增加 例1 下列语句 是无限循环小数 x2 3x 2 0 当x 4时 2x 0 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 一个数不是合数就是质数 难道菱形的对角线不互相平分吗 把门关上 其中不是命题的是 例4 对于命题 正方形的四个内角相等 下面判断正确的是 A 所给命题为假B 它的逆否命题为真C 它的逆命题为真D 它的否命题为真 解析 先写出 正方形的四个内角相等 的逆命题 否命题 逆否命题 然后逐一判断 答案 B 例5 写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判
3、断它们的真假 1 若a b都是偶数 则a b是偶数 2 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 练习与巩固 3 已知命题p 关于x的方程x2 mx 1 0有两个不等的负实根 命题q 关于x的方程4x2 4 m 2 x 1 0无实根 已知命题p和q中 一个为真命题 一个为假命题 求m的取值范围 1 2充分条件与必要条件 1 2 1充分条件与必要条件1 定义 1 当 若p则q 形式的命题为真时 记作pq 称p是q的充分条件 q是p的必要条件 2 当 若p则q 形式的命题为假时 记作pq 称p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2 判断方法 1 利用逆否命题的等价性 2 利用集合关系 A x x满
4、足条件p B x x满足条件q 若AB 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若BA 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若A B 则p是q q是p 的充分且必要条件 1 2 2充要条件 1 定义 一般地 如果既有pq 又有qp 记作pq 称p是q的充要条件 显然q也是p的充要条件 2 判定方法 1 如果若p则q 若q则p都是真命题 p就是q的充要条件 否则不是 2 若条件p的集合A 条件q的集合B满足A B 则p是q的充要条件 否则不是 3 充要条件的证明 证充分性和必要性 1 3简单的逻辑联结词 1 逻辑连结词的基本形式及含义 1 且 and p q 2 或 or p q 3 非 not
5、 p 2 复合命题的判断及其真值表 1 真 0 假 例1 由 p 8 7 16 q 3 构成的复合命题 下列判断正确的是 A p或q为真 p且q为假 非p为真B p或q为假 p且q为假 非p为真C p或q为真 p且q为假 非p为假D p或q为假 p且q为真 非p为真 解析 因为p假 q真 由复合命题的真值表可以判断 p或q为真 p且q为假 非p为真 答案 A 1 全称命题 含有全称量词的命题 2 全称量词的种类 对所有的 对任意一个 对一切 对每一个 任给 所有的 等 3 全称命题的表示形式 x M p x 4 全称命题的判定 要对M中每一个元素x 证明p x 成立 如果在M中找到一个x0 使
6、p x0 不成立 则这个全称命题为假命题 1 4全称量词与存在量词 1 特称命题 含有存在量词的命题 2 存在量词的种类 存在一个 至少有一个 有些 有一个 对某个 有的 等 3 特称命题的表示形式 x M p x 4 特称命题的判定 只需在M中找到一个元素x0 使p x0 成立即可 如果在M中 使p x 成立的元素x不存在 则这个特称命题为假命题 例2 写出下列命题的否定 1 两组对边平行的四边形是平行四边形 2 能被3整除的数 一定能被6整除 3 有些三角形三个角均为60 4 至少有一个实数 既不大于0也不小于0 5 对任意三角形 两边之和大于第三边 6 存在实数a b c 使abc 0
7、1 命题p的否定即 非p 全称命题的否定是特称命题 反之亦然 1 命题p x M p x 它的否定 p x M p x 2 命题p x M p x 它的否定 p x M p x 2 命题的 否定 与一个命题的 否命题 是两个不同的概念 对命题的否定是否定命题所作的判断 而 否命题 是对 若则 的形式的命题而言 既要否定条件也要否定结论 练习与巩固 1 写出下列命题的否定并判断其真假 1 平面上存在一点到线段两端点的距离相等 2 奇数都不能被4整除 本章小结 例3 有A B C三个盒子 其中一个内放有一个苹果 在三个盒子上各有一张纸条A盒子上的纸条写的是 苹果在此盒内 B盒子上的纸条写的是 苹果
8、不在此盒内 C盒子上的纸条写的是 苹果不在A盒内 如果三张纸条中只有一张写的是真的 请问苹果究竟在哪个盒子里 分析 就苹果在A B C逐一检验三个盒子上的纸条的真假 解 若苹果在A盒内 则A B两个盒子上的纸条写的为真 不合题意 若苹果在B盒内 则A B两个盒子上的纸条写的是假 C盒子上的纸条写的为真 符合题意 即苹果在B盒内 同样 若苹果在C盒内 则B C两盒子上的纸条写的为真 不合题意 综上 苹果在B盒内 例6 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为 1的的充要条件是a b c 0 证明 充分性 a b c 0即a 1 2 b 1 c 0 1是ax2 bx c 0的一个根 必要性 ax2 bx c 0有一个根是 1 a 1 2 b 1 c 0 即a b c 0 由 知ax2 bx c 0有一个根为 1的充要条件是a b c 0 例1 用符号 与 表示下面含有量词的命题 1 不等式 x 1 x 2 3有实数解 2 若a b是偶数 则a b也是偶数 解 1 x R 使 x 1 x 2 3 2 a b R 且a b为偶数 有a b为偶数 知识回顾KnowledgeReview 祝您成功
