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1、高二期末考试数学试题 晁群彦 一 选择题 每小题5 分 满分 0分 设l m n均为直线 其中m n在平面 a 内 则 l 是 l m 且 l 的 n A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 对于两个命题 xR 1sin x1 x 2 cos 2 R sin xx 1 下列判断正确的是 A 假 真B 真 假C 都假D 都真 与椭圆 x 2 y 21共焦点且过点 Q 2 1 的双曲线方程是 4 22222 A x 2 y1 B x y 2 1 C x y 21D xy1 24233 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 过F1且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A B
2、两点 则 ABF2是正三角形 则椭圆的离心率是 w wwk 5u om 21 C 3 D 1 AB 3322 过抛物线y 28 x 的焦点作倾斜角为450直线 l 直线 l 与抛物线相交与A B两点 则弦 AB的长是 A 8B16C32D64 wwwk 5 u om 在同一坐标系中 方程 222 x 2 1 与 axby 2 b0 的曲线大致是 a xb0 a A B C D x 2y 2 a b 0 的两个焦点 F1 F2 点P在椭圆上 则P F1F2的面积 已知椭圆1最 a 2b 2 大值一定是 Aa 2 Ba bC a a 2 b 2Db a 2 b 2 已知向量 a 1 1 0 b 1
3、 0 2 且 k ab 与 2 a b 互相垂直 则实数 k 的值是 137 A 1 B 5 C 5 D 5 在正方体 ABC D A1B1C1D1 中 E 是棱 A 1B1 的中点 则 A1 B 与 D1 E 所成角的余弦值为 510510 A 10 B 10C 5D 5 若椭圆 mx 2ny 2 1 m0 n 0 与直线 y 1 x 交于 A B 两点 过原点与线段AB 中点 2 n 的连线的斜率为 2 则 m 的值是 2 2B 2 C 3 D 2A 229 过 抛 物 线x 2 4 y 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 P1x1 y1 P2x2 y2两点 若 y1y 26
4、则P1P2的值为 A 5B 6C 8D 10 以 x 2 y 2 1 的焦点为顶点 顶点为焦点的椭圆方程为 412 222222 xy 1 xy 1 xy 1D A 12 B 16 C 4161216 二 填空题 每小题 分 已知 A B C三点不共线 对平面 ABC外一点 O 给出下列表达式 OMx OAy OB 1 OC 3 其中 x y 是实数 若点M 与 A B C 四点共面 则 x y 斜率为1 的直线经过抛物线y2 4x的焦点 且与抛物线相交于A B 两点 则 AB 等 于 若命题P x 0 ax 22 x 2 0 是真命题 则实数 a 的取值范围是 已知A O B90 C 为空间
5、中一点 且 AO CBOC 60 则直线 O C 与平面 AO B 所成角的正弦值为 三 解答题 解答应写出必要的文字说明 证明过程和演算步骤 本小题满分1 设命题 P 2 2 xa 命题Q x R x 2 x R x2 ax 2 a 0 如果 或 Q 为真 且Q 为假 求 a 的取值范围 w ww k 5uom 1 分 如图 在直角梯形ABCP 中 BC AP AB BC CD AP AD DC PD 2 E F G 分别是 线段 PC PD BC 的中点 现将PDC 折起 使平面 PDC 平面 ABCD 如图 求证 AP 平面 EFG 求二面角G EF D 的大小 在线段PB 上确定一点Q
6、 使 PC 平面 ADQ 试给出证明 1 分 如图 金砂公园有一块边长为2 的等边 ABC 的边角地 现修成草坪 图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分 D 在 AB 上 E 在 AC 上 设 AD x DE y 求 y 关于 x 的函数关系式 A 如果 DE 是灌溉水管 我们希望它最短 则 DE 的位置应在哪里 x E 请予以证明 Dy BC 本小题满分1 分 设 F1 F2分别为椭圆 x 2 y 2 b 0 的左 右两个焦点 C 22 1 a ab 若椭圆 C 上的点 A 1 3 4 w w wk 5u om 到 F1 F2两点的距离之和等于 2 求椭圆 C 的方程和焦点坐标 1 设点P
7、 是 中所得椭圆上的动点 Q 0 求 PQ 的最大值 2 本小题满分1 分 如图 设抛物线C x 2 4 y 的焦点为F P x 0 y 0 为抛物线上的任一点 其中x 0 0 过 P 点的切线交y轴于 Q 点 y 证明 FP FQ wwwk 5u omA Q 点关于原点 O 的对称点为M 过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A B 两点 若AMMB 1 求的值 MFP B xO Q 高二 理科 期末考试数学试题参考答案及评分标准 一 选择题 ABCCBD CBDBDD 2 4 二 填空题 3 8 详解 由对称性点 C 在平面 AO B 内的射影 D 必在 A OB 的平分 线
8、上作 DE OA于E 连结CE 则由三垂线定理 CE OE 设 D E1OE 1 OD 2 又COE 60 CE O E OE2 所以 CDOC 2 OD 2 2 因此直线 O C 与平面 A O B 所成角的正弦值 s i nCO D 2 2 本题亦可用向量法 y ex 三 解答题 解 命题P x 2 2 xa R x 2 2 x x 2 1a 恒成立a1 3 分即 x1 2 2 ax2 a0 命题 Q x R x 2 2a0 有实数根即方程 x2 ax 2 a 2 4 2a 0a2 或 a1 6 分 P 或 Q 为真 P 且 Q 为假 P 与 Q 一真一假 8 分 当P真Q假时 2a1 当
9、 P 假 Q 真时 a 1 10 a 的取值范围是 2 1 1 1 14 分 解法一 在图 中 平面 PDC 平面 ABCD AP CD PD CD PD DA PD 平面 ABCD 如图 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DP 分别为 x y 与 z 轴建立空间直角坐标系 1 分 则 D 0 0 0 A 2 0 0B 2 2 0C 0 2 0P 0 0 2 E 0 1 1 F 0 0 1G 1 2 0 AP2 0 2EF0 1 0FG1 2 1 3 分 设平面 GEF 的法向量 n x y z 由法向量的定义得 nEF0 x y z 0 1 0 0y0y0 nFG0 x y z 1 2
10、1 0 x2 y z0 xz 不妨设z 1 则 n 1 0 1 4分 APn2 120 120 5分 AP n 点 P 平面 EFG AP 平面 EFG 6分 由 知平面 GEF 的法向量n 1 0 1 因平面EFD 与坐标平面PDC 重合 则它的一个法向量为i 1 0 0 8分 n i 12 设二面角 G EF D 为 则cos n2 9 分 2 由图形观察二面角GEF D 为锐角 故二面角 G EF D 的大小为 45 10 分 假设在线段PB 上存在一点 Q 使 PC 平面 ADQ P Q D 三点共线 则设 DQ 1 t DP t DB 又 DB 2 2 0 DP0 0 2 DQ 2t
11、 2t 2 2 t 又 DA 0 0 2 11 分 若 PC 平面 ADQ 又 PC 0 2 2 PCDA0 0 2 2 2 0 0 01 0 2 2 2t 2 t 2 2 2 t 2 22 t 0t 则 PCDQ0 2t 02 1 分 DQ 1 DB DP 2 13分 故在线段 PB 上存在一点 Q 使 PC 平面 ADQ 且点 Q 为线段 PB 的中点 1 分 解法二 1 EF CD AB EG PB 根据面面平行的判定定理 平面 EFG 平面 PAB 又 PA 面 PAB AP 平面 EFG 4分 2 平面 PDC 平面 ABCD AD DC AD 平面 PCD 而 BC AD BC 面
12、 EFD 过 C 作 CR EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR 根据三垂线定理知 GRC 即为二面角的平面角 GC CR GRC 45 故二面角 G EF D 的大小为 45 8 分 3 Q 点为 PB 的中点 取PC 中点 M 则 QM BC QM PC 在等腰 Rt PDC 中 DM PC PC 面 ADMQ 1 分 14 分 解 1 在 ADE 中 y 2 x 2 AE2 2 x AE cos60 y 2 x 2 AE2 x AE 2 分 113 a 22 2 又 S ADE S ABC 2 x AE sin60 x AE 2 4 分 2 2 x 24 2 y 2 x 2 x yy
13、 2 代入 得 0 x 6 分 2 A E 2 又 x x 1 2 x 1 2 若 矛盾 所以 x 2 x y 4 x 22 1 x 2 7 分 2 如果 DE 是水管 y 24 22 2 2 10 分 x 22 x 4 当且仅当 x 2 x 2 即 x 2 时 成立 1 分 故 DE BC 且 DE 2 1 分 解 椭圆C 的焦点在 x 轴上 由椭圆上的点A 到 F1 F2两点的距离之和是4 得 2a 4 即 a 2 2 分 3 2 31 又点 2 1 2 3 2 1 4 分 A 1 在椭圆上 因此22于是 c 得 b 22b 22 所以椭圆 C 的方程为 x y1 焦点 F1 1 0 F2
14、 1 0 6 分 43 设 P x y 则 x 22 y1x 2 44 y 2 8 分 433 PQ 2 x 2 y1 2 44 y 2 y 2y11y 2y17 10 分 23434 13 2 5 12 分 y 32 3y3当 y 3 max 5 1 分又时 PQ 2 解 证明 由抛物线定义知 PF y 01 k PQy x x 0 x 0 2 可得 PQ 所在直线方程为yy 0 x0 xx 0 2 2 y0 x0 4 得 Q 点坐标为 0 y 0 QF y 01 PF QF 设 A x1 12 20 y B x y 又 M 点坐标为 0 y AB 方程为 y x0 xy 0 8 分 2 x 24 y 2 由x 0得 x2 x0 x4 y 00 yxy 0 2 x1x 22 x 0 x1 x 24 y 0 x 02 10 分 由 AMMB得 x 1 y 0y 1 x 2 y 2y 0 x1x2 12 分 由 知 1 x 22 x0222 由 x0 22 得 1 x 24 x 2 2 0 可得 x 0 x 2x 0 1 24 又1 解得 32 2 1 分
