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1、人教版数学选修2 2 第一章练习题及解析 1 曲线 y x3 x 2 在 P 点处的切线平行于直线y 4x 1 则切线方程为 A y 4xB y 4x 4 C y 4x 8D y 4x 或 y 4x 4 答案 D 解析 y lim y xx 0 lim x x 3 x x 2 x3 x 2 x x 0 lim x 2 3x x 3x 2 1 x 0 3x 2 1 由条件知 3x 2 1 4 x 1 当 x 1 时 切点为 1 0 切线方程为 y 4 x 1 即 y 4x 4 当 x 1 时 切点为 1 4 切线方程为y 4 4 x 1 即 y 4x 2 设点 P 是曲线 y x 3 3x 2
2、上的任意一点 P 点处的切线倾斜角为 则 的取 值 3 范围为 A 0 2 B 0 5 2326 2 5 D C 3 2 6 答案 A 解析 设 P x0 y0 x x 3 3 x x 2 x3 3x 2 f x li m 33 x x 0 3x 2 3 切线的斜率 k 3x 02 3 tan 3x02 3 3 2 0 2 3 故应选 A 3 设 P 为曲线 C y x2 2x 3 上的点 且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0 4 则点 P 横坐标的取值范围为 1 A 1 2 B 1 0 C 0 1 D 1 1 2 答案 A 解析 考查导数的几何意义 y 2x 2 且切线倾斜角 0
3、 4 切线的斜率 k 满足 0 k 1 即 0 2x 2 1 1 x 1 2 4 已知 f x x2 3xf 2 则 f 2 答案 2 解析 f x 2x 3f 2 f 2 4 3f 2 f 2 2 1 5 求过点 2 0 且与曲线 y x 相切的直线方程 解析 易知 2 0 不在曲线 y 1 上 令切点为 x0 y0 则有 y0 1 xx0 11 又 y lim yx x x 1 lim x 2 x 0 xx 0 x 1 所以 y x x0 x20 1 即切线方程为y x 20 x 2 而 y01 2 x0 2x0 由 可得 x0 1 故切线方程为 y x 2 0 6 若直线 y kx 是曲
4、线 y x 3 3x2 2x 上一点处的切线 求实数 k 的值 解析 0 x03 3x02 2x0 设切点 x y x x0 x 3 3 x0 x 2 2 x0 x x x30 3x20 2x0 x 2 3x2 0 3 x x0 6x0 3 x 2 lim y 3x20 6x0 2 x 0 x k 3x 20 6x0 2 切线方程为 y x 3 0 3x 2 0 2x0 3x 2 0 6x0 2 x x0 切线过原点 0 x 3 0 3x 20 2x0 3x 2 0 6x0 2 0 x0 31 解得 x0 0 或2 则 k 2或 4 7 已知直线l1为曲线 y x2 x 2 在点 1 0 处的
5、切线 l2为该曲线的另一条切线 且l1 l 2 1 求直线 l2的方程 2 求由直线l1 l2和 x 轴所围成的三角形的面积 解析 1 y x 1 li m 1 x 2 1 x 2 12 1 2 3 xx 0 所以 l1的方程为 y 3 x 1 即 y 3x 3 设 l2过曲线 y x 2 x 2 上的点 B b b2 b 2 y x b li m b x 2 b x 2 b2 b 2 x x 0 2b 1 所以 l 2的方程为 y b 2 b 2 2b 1 x b 即 y 2b 1 x b 2 2 2122 因为 l1 l2 所以3 2b 1 1 所以 b 3 所以 l 2的方程为 y 3x
6、 9 1 2 由 y 3x 3 x 6 122得 5 y 3x 9 y 2 即 l1与 l 2的交点坐标为 1 5 62 又 l1 l 2与 x 轴交点坐标分别为 1 0 22 0 3 1 5 22125 所以所求三角形面积 S 22 1 3 12 8 2014 郑 州一中期中 函数 f x 的定义域为R f 2 2013 对任意x R 都有 f x x 2 2009 的解集为 A 2 2 B 2 C 2 D 答案 C 解析 令 F x f x x2 2009 则 F x f x 2x 0 F x 在 R 上为减函数 又 F 2 f 2 4 2009 2013 2013 0 当 xF 2 0
7、不等式 f x x 2 2009 的解集为 2 9 已知 y 1x3 bx 2 b 2 x 3 在 R 上不是单调增函数 则 b 的取值范围为 3 答案 b2 解析 若 y x 2 2bx b 2 0 恒成立 则 4b 2 4 b 2 0 1 b 2 由题意 b 1 或 b 2 10 2014 夏三市联考宁 若函数 f x 的导函数f x x2 4x 3 则 f x 1 的单调递减 区间是 答案 0 2 解析 由 f x x2 4x 3 0 得 1 x 3 即得f x 的单调递减区间是 1 3 所以由 1 x 1 3 得 f x 1 的单调递减区间 0 2 11 已知函数f x x3 ax 2
8、 2a 3 x 1 1 若 f x 的单调减区间为 1 1 则 a 的取值集合为 2 若 f x 在区间 1 1 内单调递减 则a 的取值集合为 答案 1 0 2 a a 0 解析 f x 3x 2 2ax 2a 3 x 1 3x 2a 3 1 f x 的单调减区间为 1 1 1 和 1 是方程 f x 0 的两根 3 2a 3 1 a 0 a 的取值集合为 0 2 f x 在区间 1 1 内单调递减 f x 1 a 0 a 的取值集合为 a a0 f x 在 2 1 上是增函数 当 x 2 1 2 1 时 f x 0 f x 在 2 1 上是增函数 5 2 由 f 2 0 得 a 4 5 当
9、 a 4 x 2 时 2 2ax 1 3 x2 5 3 x 1 f x 3 x2x 1 2 x 2 0 所以 f x 在 2 上是增函数 于是当x 2 时 f x f 2 0 5 综上 a 的取值范围是 4 14 曲线 y x 在点 1 1 处的切线方程为 x 2 A y 2x 1B y 2x 1 C y 2x 3D y 2x 2 答案 A 解析 本小题主要考查导数的运算及其几何意义 直线的点斜式方程等基础知识 1 x 1 1 x 2 f 1 lim x x 0 lim 1 x 1 x2 lim 2 x 0 1 x x x 0 1 x 曲线在 1 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即 y
10、2x 1 15 过点 P 2 0 作曲线 y x 的切线 求切线方程 解析 因为点 P 不在曲线 y x 上 故设切点为 Q x0 x0 y 1 2x 过点 Q 的切线斜率为 1 x0 x0 2 2x0 x0 2 切线方程为 y 2 1 x 2 22 即 x 22y 2 0 16 函数 f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点 B 有一个极大值点 两个极小值点 C 有两个极大值点 两个极小值点 D 有四个极大值点 无极小值点 答案 C 解析 设 f x 与 x 轴的 4 个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当 x0 f x 为增
11、函数 当 x1 x x 2时 f x 0 f x 为减函数 则 x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 点评 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图 象 若给的是 f x 的图象 应先找出 f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是 f x 的图象 应 先找出 f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 17 2014 溪一中期中屯 设 f x x3 ax 2 bx 1 的导数 f x 满足 f 1 2a f 2 b 其中常数a b R 1 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 x
12、2 设 g x f x e 求函数g x 的极值 解析 f x x3 ax 2 bx 1 f x 3x 2 2ax b f 1 2a 3 2a b 2a f 2 b 12 4a b b a 32 b 3 3322 f x x 2x 3x 1 f x 3x 3x 3 5 f 1 2 f 1 3 5 切线方程为 y 2 3 x 1 即 6x 2y 1 0 2 g x 3x 2 3x 3 e x g x 6x 3 e x 3x2 3x 3 e x g x 3x x 3 e x 当 0 x0 当 x 3 时 g x 0 当 x 0 时 g x 0 g x 在 0 上单调递减 在 0 3 上单调递增 在
13、 3 上单调递减 所以 g 极小 x g 0 3 g 极大 x g 3 15e 3 18 2014 山 东省菏泽市期中 已知函数 f x 1x2 aln x 2 1 若 a 1 求函数 f x 的极值 并指出是极大值还是极小值 2 若 a 1 求证 在区间 1 上 函数 f x 的图象在函数 23 的图象的下方 g x x 3 解析 1 由于函数 f x 的定义域为 0 当 a 1 时 f x x 1 x 1 x 1 xx 令 f x 0 得 x 1 或 x 1 舍去 当 x 0 1 时 f x 0 因此函数f x 在 1 上单调递增 则 x 1 是 f x 的极小值点 1 所以 f x 在
14、x 1 处取得极小值为 f 1 2 1223 2 证明 设 F x f x g x 2x lnx 3x 则 F x x 1 2x 2 2x3 x 2 1 xx x 1 2x 2 x 1 x 当 x 1 时 F x 0 故 f x 在区间 1 上单调递减 1 又 F 1 6 0 在区间 1 上 F x 0 恒成立 即 f x g x 恒成立 因此 当 a 1 时 在区间 1 上 函数 f x 的图象在函数g x 图象的下方 19 2014 山 西省太原五中月考 已知函数 f x xln x 1 求函数 f x 的单调递减区间 2 若 f x x 2 ax 6 在 0 上恒成立 求实数 a 的取值
15、范围 2 3 过点 A e0 作函数 y f x 图象的切线 求切线方程 解析 1 f x ln x 1 由 f x 0 得 lnx 1 11 0 x e 函数 f x 的单调递减区间是 0 e 2 f x x2 ax 6 a ln x x 6 x 设 g x lnx x 6 x 则 x2 x 6x 3x 2 g x x 2 2 x 当 x 0 2 时 g x 0 函数 g x 单调递 增 g x 最小值为 g 2 5 ln2 实数 a 的取值范围是 5 ln2 3 设切点 T x0 y0 则 kAT f x0 x0lnx02 1 lnx0 1 即 e x0 lnx0 1 0 x0 2 e 设
16、 h x e2x lnx 1 则 h x e2 1 x 当 x 0 时 h x 0 h x 是单调递增函数 h x 0 最多只有一个根 12111 又 h 2 22 0 2 e ee lne 1 0 xe 由 f x0 1 1 得切线方程是 x y e 2 0 2 1 20 在曲线 y x x 0 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 12 试求 1 切点 A 的坐标 2 过切点 A 的切线方程 解析 如图所示 设切点A x0 y0 由 y 2x 知过 A 点的切线 方程为 y y0 2x0 x x0 2 即 y 2x0 x x0 令 y 0 得 x x0 即 C x0 0 22 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S 21 3 S S 曲边 AOB S ABC S 曲边 AOB x00 x dx 3x0 11 x0 213 ABC x00 0 即 S 1x03 1x 03 1 x0 3 1 341212 所以 x0 1 从而切点A 1 1 切线方程为y 2x 1 21 2014 山 东省德州市期中 统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y
