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1、定义2 8 单叶函数 设函数f z 在区域D内有定义 且对D内任意不同的两点z1及z2都有f z1 f z2 则称函数f z 在D内是单叶的 并且称区域D为f z 的单叶性区域 显然 区域D到区域G的单叶满变换w f z 就是D到G的一一变换 f z z2不是C上的单叶函数 f z z3是C上的单叶函数 第三节初等多值函数 定义2 9若z wn 则称w为z的n次根式函数 记为 根式函数 为幂函数z wn的反函数 1 根式函数的多值性 1 根式函数 2 分出根式函数的单值解析分支 从原点O起到点 任意引一条射线将z平面割破 该直线称为割线 在割破了的平面 构成以此割线为边界的区域 记为G 上 a
2、rgz 2 从而可将其转化为单值函数来研究 就是其一个支点 这时绕转一周也可看作绕点 函数值发生了变化 则称为f z 的支点 如 若变点z沿转一周 回到出发点时 wk在其定义域上解析 且 分成如下的n个单值函数 3 的支点及支割线 定义1设w f z 为多值函数 为一定点 作小圆周 转一周 故点也是其一个支点 常用方法 从原点起沿着负实轴将z平面割破 即可将根式函数 如可以以负实轴为支割线 定义2设想把平面割开 借以分出多值函数的单值分支的割线 称为多值函数的支割线 注a 支割线可以有两岸 b 单值解析分支可连续延拓到岸上 c 支割线改变各单值分支的定义域 值域也随之改变 d 对 当以负实轴为
3、支割线时 当时取正值的那个分支称为主值支 二 对数函数 1 定义 2 计算公式 说明 w Lnz是指数函数ew z的反函数 Lnz一般不能写成lnz 其余各值为 例1 解 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 例2 解 3 对数函数的性质 是下岸相应点的函数值 求的值 以为支点 连接的任一 广义 简单曲线可作为其支割线 4 分出w Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破 就可将对数函数 w Lnz分成如下无穷多个单值解析分支 wk在定义域上解析 且 例1设定义在沿负实轴割破的平面上 且 解 求值 三 乘幂与幂函数 1 乘幂 3 幂函数的解析性 原
4、点和负实轴的复平面内是解析的 例1 解 它是无穷多个独立的 在z平面上单值解析的函数 1 反三角函数的定义 两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数 重复以上步骤 可以得到它们的表达式 四 反三角函数和反双曲函数 2 反双曲函数的定义 例1 解 4 若能整除中若干个之和 则中对应的几个就可以联结成割线 即变点z沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后 函数值不变 五 具有有限个支点的情形 设有任意N次多项式 分别为P z 的一切相异零点 对应重数为 且有 则函数 的支点有以下结论 1 的可能支点为和 2 当且仅当不能整除时 是的支点 3 当且仅当不能整除时 是的支点 例1作出一个含i
5、的区域 使得函数 在此区域内可分解成单值解析分支 求一个分支在i点 解 可能的支点为 易知函数 因 0 1 2与无穷 具体分析见下图 结论 0 1 2与无穷都是支点 的值 使其满足 支点确定后 我们作区域 将函数分解成单值解析分支 首先 在复平面内作一条连接0 1 2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线 在所得区域内 可以把w分解成连续分支 例如 可取作为割线 得到区域D 其次 也可以取线段 0 1 及从2出发且不与 0 1 相交的射线为割线 在所得区域内 可以把w分解成连续分支 例如 可取 0 1 及作为割线 得到区域 例2验证函数 内可以分解成解析分支 求出这个分支函数在 0 1 解 由于 故0 1是支点 无穷远点不是支点 在区域D C 0 1 上沿取正实值的一个分支在z 1处的值 结论 0 1是支点 无穷远点不是支点 因此 在区域D C 0 1 内函数可以分解成解析分支 若在 0 1 的上沿规定 其四个解析分支为 则对应的解析分支为k 0 在z 1处 有 所以
