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1、中考数学探究型试题探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。例1（宜昌课改）如图1，已知ABC的高AE=5，BC=，ABC45，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2
2、）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围（图2供思考用）解：(1)点G与点E关于点F对称，GF=FE HIBC，GIF=EJF，又GFI=EFJ，GFIEFJ，GI=JE 同理可得HG=EK ，HI=JK, 四边形HIKJ是平行四边形 (注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5 如图1，AE过平行四边形HIJK的中心F,HG=EK, GI=JE.HG/BE=GI/EC.CEBE,GI HG, CKBJ. 当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动,
3、 图1如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分） 设EFx，AHGABC45，AE5，BE5GI，AGHG5-2x ,CE-5AGIAEC，AGAEGICE. (5-2x)55(-5) AF5-x4 AF4 图2说明:本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。练习一1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(
4、1)所示：AOC是ABO的外角AOC=ABO+BAO又OA=OBOAB=OBA AOC=2ABO即ABC=AOC如果ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）若ACB=90，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x
5、的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？CAB（图1）CAB方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）若ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案中的y的最大值比较大小假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）3（绵阳）如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么
6、关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应
7、点为，得RtAE，如图（2）；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图（3）。利用展开图（4）探究：（1）AEF是什么三角形？（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完
8、成证明得5分。 DM的延长线交CE于点N，且ADNE； 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。FMECGADB（3）（2）BACEDFGM例2（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点yxFDEABCOy xONMC A BP（1）求和的值；（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得
9、，写出你的探究过程和结论知识点：解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别， 又点A，B在直线上， 解得或 当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且.（2）假设存在点使得 轴，轴，RtRt,设点P坐标为（1x8，则M点坐标为，.又，即（） 方程（）无实数根所以不存在点使得 练习二1、（包头）已知一次函数y1=x，二次函数y2=x2+。 (1)根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)x3210123y1=x3210123y2=x2+11 (2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断yl和y2的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x
10、的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立； (3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。2、（北京丰台）在直角坐标系中，经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式； （2）若经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范
11、围。3、（2005年内江）教师提出：如图A（1,0），ABOA，过点A、B作轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。同学讨论发现：2 ：3 请你验证结论成立；请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论是否仍成立？进一步研究：在的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)4、（2005深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2E为BC的中点，以OE为直径的O交轴于D点，过点D作DFAE于点F（1） 求OA、
12、OC的长；（2）求证：DF为O的切线； yOCBAEDFx(3)小明在解答本题时，发现AOE是等腰三角形由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使AOP也是等腰三角形，且点P一定在O外”你同意他的看法吗？请充分说明理由能力训练1、已知：直线ab，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。（1）如图，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PMQN。PQMNab请你参照图，在图中画出异于图的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。请你在图中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。ababPQMNabS1S2S3S
