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1、第二章矩阵 1 矩阵的定义 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵 简称m n矩阵 简记为 这m n个数aij称为矩阵A的元素 A Am n aij m n aij 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 一 基本概念 5 只有一行 列 的矩阵称为行 列 矩阵 或行 列 向量 2 两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵 并且对应元素相等 即aij bij i 1 2 m j 1 2 n 则称矩阵A与B相等 记作A B 1 两个矩阵的行 列数对应相等 称为同型矩阵 3 同型矩阵和相等矩阵 4 矩阵的加法 设有两个同型的m
2、 n矩阵A aij 与B bij 那末矩阵A与B的和定义为 aij bij 记作A B 即 矩阵加法的运算规律 1 交换律 A B B A 2 结合律 A B C A B C 矩阵A aij 称 A aij 为矩阵A的负矩阵 A A O A B A B 5 数与矩阵相乘 数 与矩阵A aij 的乘积定义为 aij 记作 A或A 简称为数乘 设A B为同型的m n矩阵 为数 1 A A 2 A A A 3 A B A B 数乘矩阵的运算规律 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算 设A aij 是一个m s矩阵 B bij 是一个s n矩阵 定义矩阵A与矩阵B的乘积C cij 是一个m n矩
3、阵 其中 6 矩阵与矩阵相乘 i 1 2 m j 1 2 n 并把此乘积记作C AB 矩阵乘法的运算规律 1 结合律 AB C A BC 2 分配律 A B C AB AC B C A BA CA 3 AB A B A B 其中 为数 4 Am nEn EmAm n A 把矩阵A的行列互换 所得到的新矩阵 叫做矩阵A的转置矩阵 记作AT 7 转置矩阵 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 A T AT 4 AB T BTAT 转置矩阵的运算性质 8 方阵的运算 方阵的幂满足幂运算律 AkAm Ak m Am k Amk 其中k m为正整数 若A是n阶方阵 则Ak为A的k次幂 定义为
4、A1 A Ak 1 AkA1 k为正整数 由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 方阵行列式的运算性质 1 AT A 2 A n A 3 AB A B B A BA 9 一些特殊的矩阵 设A为n阶方阵 1 如果AT A 称A为对称矩阵 2 如果AT A 称A为反对称矩阵 3 如果AAT ATA E 称A为正交矩阵 6 主对角线以下 上 的元素都为零的方阵称为上 下 三角矩阵 7 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵 性质 AA A A A E 对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 使得AB BA E则称矩阵A是可逆的
5、 非奇异的 非退化的 并称矩阵B为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A 1 10 逆矩阵 2 矩阵A可逆的充要条件是 A 0 3 若A是可逆矩阵 则 4 若AB E 或BA E 则B A 1 1 若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 5 若矩阵A可逆 且 0 则 A亦可逆 且 7 若矩阵A可逆 则AT亦可逆 且 AT 1 A 1 T 6 若A B为同阶可逆方阵 则AB亦可逆 且 AB 1 B 1A 1 8 若矩阵A可逆 则有 A 1 A 1 逆矩阵的计算方法 3 初等变换法 下一章介绍 2 伴随矩阵法 1 待定系数法 矩阵的分块 主要目的在于简化运算及便于论证 分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似 11 分块矩阵 矩阵的分块 主要目的在于简化运算及便于论证 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 分块矩阵 一 填空题 测试题答案
