《2012版高考数学 3-2-1精品系列专题03 数列 理 （教师版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012版高考数学 3-2-1精品系列专题03 数列 理 （教师版）.doc（120页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心1 学科网学科网 3 2 13 2 1 精品系列数学 理 精品系列数学 理 20122012 版版 专题专题 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0303 数列数列 理理 教师版 教师版 0303 数列数列 1 数列的概念和简单表示法 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 了解数列是自变量为正整数的一类函数 2 等差数列 等比数列 理解等差数列 等比数列的概念 掌握等差数列 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 能在具体的问题情境中 识别数列的等差关系或等比关系 并能用有关知识解决相应的 问题 了解等差数列
2、与一次函数 等比数列与指数函数的关系 考纲解读 数列难度降底 得分率提高 但要全对还得加大基本功训练 选择填空题重点考查等差 比 数列的性质 解答题中重点考查通项公式 求和 重视求和中的错位相减法 裂项 相消求和等 递推数列不要研究太深 只掌握基本的就行 近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一 由于它既具有函数特征 又能构成独 特的递推关系 使得它既与中学数学其他部分知识如 函数 方程 不等式 解析几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明的特征 因此它是历年高考考查的重点 热 点和难点 在高考中占有极其重要的地位 试题往往综合性强 难度大 承载着考查学生数 学思维能力和分析 建模 解
3、决问题的能力以及函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论的思想 通过对 2012 年高考试题的研究 本专题在高考试题中占有较大比重 分 值约占总分的 12 大多为一道选择题或填空题 一道解答题 试题注重基础 着重考查等 差 等比数列的通项公式 前 n 项和公式 数学归纳法及应用问题 选择题和填空题 突 出 小 巧 活 的特点 而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 等差 等比数列的概念与性质等差 等比数列的概念与性质 例 1 已知 n a为等比数列 且 3647 36 18 aaaa 1 若 1 2 n a 求n 2
4、设数列 n a的前n项和为 n S 求 8 S 用心 爱心 专心2 解 设 1 1 n n aa q 由题意 解之得 1 128 1 2 a q 进而 1 1 128 2 n n a 1 由 1 11 128 22 n n a 解得9 n 2 1 1 1 256 1 12 n n n aq S q 8 8 1 256 1 255 2 S 例 2 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 56 S S 15 0 若 5 S 5 求 6 S及 a1 求 d 的取值范围 解 由题意知S6 5 15 S 3 6 a S6 S5 8 所以 1 1 5
5、105 58 ad ad 解得a1 7 所以S6 3 a1 7 方法一 因为S5S6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以d2 8 故d的取值范围为d 22或d 22 方法二 因为S5S6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 看成关于 1 a的一元二次方程 因为有根 所以 222 818 101 80ddd 解得 2 2d 或2 2d 考点二考点二 求数列的通项与求和求数列的通项与求和 例 3 已知数列 n a满足且0 1 a 1
6、2 1 2 1 NnnnSS nn 1 求 23 a a 并证明 1 2 nn aan nN 2 设 1 Nnaab nnn 求证 12 1 nn bb 3 求数列 Nnan 的通项公式 用心 爱心 专心3 2 由 1 naa nn 2 1 有12 12 naa nn 1 2 112 nnnn aaaa 12 1 nn bb即 3 由 2 1 21 1 nn bb而211 121 aab 1 n b是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 nn n b2221 1 12 n n b即12 1 n nn aa 而naa nn 2 1 有 122 n nn ana 12Nnna n n 名师点睛名师
7、点睛 一般地 含有 n S的递推关系式 一般利用 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 化 和 为 项 例 4 在数列 n a 中 3 1 1 a 并且对任意2 nNn都有 nnnn aaaa 11 成立 令 1 Nn a b n n 求数列 n b 的通项公式 求数列 n an 的前 n 项 和 n T 解 1 当 n 1 时 3 1 1 1 a b 当2 n时 由 nnnn aaaa 11 得 1 11 1 nn aa 所 以1 1 nn bb 所以数列 n b是首项为 3 公差为 1 的等差数列 所以数列 n b的通项公式为 2 nbn 用心 爱心 专心4 2 11 11 2 22
8、 n a nn nnn 11111111 1 23243511 n T nn 11 2nn 2 2 1 3113534 1 2 2 2124 32 44 1 2 nnn nnnnnn 名师点睛名师点睛 裂项相消法 主要用于通项为分式的形式 通项拆成两项之差求和 正负 项相消剩下首尾若干项 注意一般情况下剩下正负项个数相同 考点三考点三 数列与不等式 函数等知识的联系数列与不等式 函数等知识的联系 例例 5 5 已知数列 n a是等差数列 Nnaac nnn 2 1 2 1 判断数列 n c是否是等 差数列 并说明理由 2 如果 为常数kkaaaaaa13143 130 26422531 试写出
9、数列 n c的通 项公式 3 在 2 的条件下 若数列 n c得前 n 项和为 n S 问是否存在这样的实数k 使 n S当且仅当12 n时取得最大值 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 22 26326 21 1 knk 2 2 1 25305knkk 3 因为当且仅当12n 时 n S最大 1213 0 0cc 有 即 22 222 24 1 25305018190 36 1 25305022210 kkkkk kkkkk 119 1921 211 kk kk kk 或 或 或 名师点睛名师点睛 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓 用心 爱心 专心5
10、 住问题的本质 揭示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题策略 例 6 已知数列 n a的首项 1 21aa a是常数 且1a 242 2 1 nnaa nn 2n 数列 n b的首项 1 ba 2 nab nn 2n 1 证明 n b从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 2 设 n S为数列 n b的前 n 项 和 且 n S是等比数列 求实数a的值 3 当0 a时 求数列 n a的最小项 提示 当3 n时总有122 n n 解 1 2 nab nn 222 11 1 2 1 4 1 2 1 nnnanab nnn nn bna222 2 n 2 由 1 21aa 得 2 4a
11、a 22 444baa 1a 2 0b 3 由 1 知当2n 时 2 44 2 1 2 nn n baa 所以 2 21 1 1 2 2 n n an a an n 1223 12 2 1 2 1 nnnaaan nn nn 有 nn aan 1 3时显然最小项是前三项中的一项 当 1 0 4 a 时 最小项为18 a 当 1 4 a 时 最小项为a4或18 a 当 1 1 4 2 a 时 最小项为a4 当 1 2 a 时 最小项 为a4或12 a 当 1 2 a 时 最小项为12 a 名师点睛名师点睛 对数列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 换为n1 或n1 得到 用心 爱心 专心
12、6 相关的式子 再进行化简变形处理 也可以把 n 取自然数中的具体的数 1 2 3 等 得 到一些等式归纳证明 例 7 已知数列 n a中 11 2 202 nn aaannnN 1 写出 23 aa 的值 只 写结果 并求出数列 n a的通项公式 2 设 1232 1111 n nnnn b aaaa 若对任 意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 求实数t的取值范围 解 1 11 2 202 nn aaannnN 23 6 12aa 2 分 当2n 时 1123221 2 21 2 3 22 nnnn aan aanaaaa 1 2132 n aann
13、 1 2132121 2 n n n annn n 当1n 时 1 11 12a 也满足上式 数列 n a的通项公式为 1 n an n 2 122 111111 1223221 n nnn b aaannnnnn 111111 1223221nnnnnn 2 111 1 121231 2 3 n nnnn n n 令 1 21f xxx x 则 2 1 2fx x 当 1 0 xfx 时恒成立 f x在 1 x 上是增函数 故当1x 时 13f xf m i n 即当1n 时 1 6 n b m ax 要使对任意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 则须
14、使 2 max 11 2 66 n tmtb 即 2 20 1 1tmtm 对恒成立 2 2 20 22 20 tt tt tt 解得 或 实数t的取值 范围为 22 另解 1 11111111 223121221231 nn bb nnnnnnnn 22 3334 0 252253 nn nnnn 数列 n a是单调递减数列 1 1 6 n bb m ax 用心 爱心 专心7 名师点睛名师点睛 数列是一种特殊的函数 要注意其特殊性 1 若用导数研究数列的单 调性 最值等 要构造辅助函数 因为导数是对连续函数而定义的 2 辅助函数的单调性 与数列的单调性的联系与区别 例 8 已知数列 n a的
15、前n项和为 n S 对一切正整数n 点 nn SnP都在函数 xxxf2 2 的图像上 且过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 1 求数列 n a的通项 公式 2 若 n k n ab n 2 求数列 n b的前n项和 n T 3 设 2 NnaxxRNnkxxQ nn 等差数列 n c的任一项RQcn 其中 1 c是RQ 中的最小数 115110 10 c 求 n c的通项公式 解 1 点 nn SnP都在函数xxxf2 2 的图像上 2 2 n Snn nN 当n2 时 1 21 nnn aSSn 当 1 时 11 3aS 满足上式 所以数列 n a的通项公式为21 n an 2 由x
16、xxf2 2 求导可得 22fxx 过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 22 n kn 24 21 4 n kn nn ban 123 43445447421 4nn n T 4 由 4 得 2341 443445447421 4nn n T 4 得 231 34 3424421 4 nn n n T 4 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n T 3 22 42 Qx xnnNRx xnnN QRR 又 n cQR 其中 1 c是RQ 中的最小数 1 6c n c 是公差是 4 的倍数 10 46 cmmN 又 10 110115c 11046115m mN 解得 27 用心 爱心 专心8 所以 10 114c 设等差数列的公差为d 则 101 1146 12 1019 cc d 6 1 12126 n cnn 所以 n c的通项公式为126 n cn 名师点睛名师点睛 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 主要用错位 相减法求数列的和 例9 甲 乙两容器中分别盛有浓度为10 20 的某种溶液500ml 同
