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1、数学试题一、选择题（本大题共12小题，5分/题，共60分）1在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，中，x应取()A19B20 C21 D22答案C解析a11，a21，a32，归纳得an2an1an，x81321.2等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】，即，【答案】C3已知等比数列，它的前项为，前项和为，则使得的的值是（ ）A B C D【解析】由题意可知等比数列的首项为1，公比为2，则，令，则，则n=7.【答案】A4设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64答案A 解析a1S11，anSnSn1n2(n1
2、)22n1(n2)a828115。5等差数列中的a4，a2 018是3x212x40的两根，则()A. B1 C1 D答案B 解析因为a4和a2 018是3x212x40的两根，所以a4a2 0184.又a4，a1 011，a2 018成等差数列，所以2a1 011a4a2 008，即a1 0112，所以1，故选B.6等差数列中，已知，使得的最大正整数为（ ） A. B. C. D.【解析】由，设公差为，则有，解得，所以，由，故的最大正整数为6，选A.【答案】A7已知等比数列中，且，则的值为（ ）A. 4 B. 4 C. 4 D. 【解析】由等比数列的性质，得，故，又，解得(负值舍去，因为同号
3、)【答案】A8中国古代数学名著九章算术中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为()A200 B300 C. D400答案B 解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a1，a2，a3，a4，a5，则a1a2a3a4a5500.由等差数列的性质可得5a3500，即a3100，所以a2a3a43a3300.9已知数列an满足a10，an1an2n，则a2 017等于
4、()A2 0172 018 B2 0162 017C2 0152 016 D2 0172 017答案B 解析累加法易知选B.10设是等差数列的前项和，若，则( )A1 B1 C2 D【答案】A【解析】由等差数列的运算性质可得，11已知数列an中a11，anan11(n2)，则an()A2()n1 B()n12 C22n1 D2n1答案A 解析设anc(an1c)，易得c2，所以an2(a12)()n1()n1，所以选A.12已知我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为()A1024 B2003 C2026 D2048【解析】为整数，此时，为整数，此时，以
5、此类推：在区间(1,2004)内的所有优数为2,6,14,30,1022，通项公式为，.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，5分/题，共20分）13已知是等差数列的前项和， 且，则 【解析】因为数列是等差数列，所以又，所以， 解得：，.【答案】1014等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则该数列的前10项之和是_.【答案】100【解析】依题意可得，即，解得。所以。15已知数列中，点且满足，则 .【解析】依题意有，设，则展开整理得，对比可得，即，而，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故，即，所以.【答案】103316某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为的等边三角形
6、（图（1）；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2）；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3）；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图则级分形图的周长为_图（1）图（2）图（3）【答案】【解析】试题分析：这类问题关键是寻找规律，根据分形图的形成规律可知，从级分形图得到级分形图时，实际上是每条边三等分后去掉中间一段，然后增加两段，长度变为原来的，那么周长也变为原来的，即记级分形图的周长为，则有，因此三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）已知在等差数列中，.（1
7、）求通项公式； （2）求前项和的最大值。解：（1）设等差数列的公差为，则 解得（2）当时，有最大值，为18（本题满分12分）设为等比数列，为其前项和，已知.（1）求的通项公式； （2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），对于令可得，解得，（2）， ，-得，19（本题满分12分）数列是递增的等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和【解析】：（1） 由，得、是方程的二个根，此等差数列为递增数列，公差， （2）， （3） 由得，解得， 此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的 当且时， 当且时， 20（本题满分12分）大学生自
8、主创业已成为当代潮流。长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款20000元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款。已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出。（1）设夏某第个月月底余元，第个月月底余元，写出的值并建立与的递推关系式；（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入。（参考数据：1.12113.48，1.12123.90，0.12117.431011，0.12128.921012）
9、【答案】（1）an+1=1.12an1500（nN+，1n11）（2）20532元【解析】（1）由题意a1=20000（1+15%）2000015%20%1500=20900（元）an+1=an（1+15%）an15%20%1500=1.12an1500（nN+，1n11）（2）令an+1+=1.12（an+），则an+1=1.12an+0.12，an+1=1.12an1500，=12500an+112500=1.12（an12500），an12500是以20900为首项，1.12为公比的等比数列an12500=（2090012500）1.12n1，即an=84001.12n1+12500a1
10、2=84001.1211+1250041732（元） 又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元）故该生还清银行贷款后纯收入4173221200=20532（元） 21（本题满分12分）设正数列的前项和为，且(1)求数列的首项； (2)求数列的通项公式；(3)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】(1)当时，由且，解得 (2)由，得 -得：，化简得 又由，得，即 数列是以1为首项，公差为2的等差数列 ，即 (3) 要使对所有都成立，只需，即满足条件的最小正整数 22.（本题满分12分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.答案(1)a12(2)an2n(3)略解析(1)令n1代入得a12(负值舍去)(2)由Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n，nN*.(3)证明：kN*，4k22k(3k2 3k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k.()()(1).不等式成立
