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1、2012高考立体设计理数通用版 8.8 直线与圆锥曲线的位置关系挑战真题1.（2009山东）设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ()A. B5 C. D.解析：设双曲线的渐近线方程为ykx，这条直线与抛物线yx21只有一个公共点，联立整理得x2kx10，则k240，解得k2，即2，故双曲线的离心率e.答案：D2.（2009浙江）过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若，则双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.解析：双曲线的两条渐近线为yx，又过顶点A的直线方程为yxa，分别联立方程，求得B，
2、C两点的横坐标分别为xB，xC(ab)，由得，xBa(xCxB)，即ab2a，所以ca，所以双曲线的离心率为e，故选C.答案：C3.（2009全国）已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k ()A. B. C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24. 根据抛物线的焦半径公式得|FA|x1x12，|FB|x22，因为|FA|2|FB|，所以x12x22. 由得x21，所以B(1,2)，代入yk(x2)得k，选D.答案：D4.（2010湖南）过抛物线x
3、2=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .解析：据题意得直线方程为y=x+，联立抛物线方程得x2=2py, y=x+,消元整理可得x2-2px-p2=0.设直线与抛物线两交点A,B两点的横坐标分别为x1,x2，则有x1+x2=2p,x1x2=-p2，则梯形ABCD的面积S=（yA+yB）（xB-xA）=（xA+xB+p）（xB-xA）解得p=2.答案：25.（2010辽宁）设椭圆C: =1（ab0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，=2.（1）求椭圆C的离
4、心率;（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.解:设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由题意知y10,y20.6.（2010天津）已知椭圆=1（ab0）的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（-a,0），点Q（0,y0）在线段AB的垂直平分线上,且=4,求y0的值.7.（2009福建）已知A，B分别为曲线C：y21(y0，a0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标(2)如图，点M
5、是以SB为直径的圆与线段TB的交点试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：方法一：(1)当曲线C为半圆时，a1，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT60或120.(i)当BOT60时，SAB30，又AB2，故在SAB中，有SBABtan 30，所以S；(ii)当BOT120时，同理可求得点S的坐标为(1，2)综上，S或S(1,2)(2)假设存在a(a0)，使得O，M，S三点共线由于点M在以SB为直径的圆上，故BTOS.显然，直线AS的斜率k存在且k0，可设直线AS的方程为yk(xa)，由得(1a2k2)x22a3k2xa4k2a20.设点T(xT，
6、yT)，则有xT(a)，故xT，从而yTk(xTa)，亦即T.因为B(a,0)，所以.由得S(a,2ak)，所以(a,2ak)由BTOS得0，即2a4k24a2k20.因为k0，a0，所以a.经检验，当a时，O，M，S三点共线，故存在a，使得O，M，S三点共线方法二：(1)同方法一(2)假设存在a，使得O，M，S三点共线由于点M在以SB为直径的圆上，故SMBT.显然，直线AS的斜率k存在且k0，可设直线AS的方程为yk(xa)由得(1a2k2)x22a3k2xa4k2a20.设点T(xT，yT)，则有xT(a)，故xT，从而yTk(xTa)，亦即T.因为B(a,0)，所以kBT，故kSMa2k
7、.由得S(a,2ak)，所以直线SM的方程为y2aka2k(xa)当且仅当点O在直线SM上时，O，S，M三点共线，即2aka2k(a)，因为a0，k0，所以a故存在a，使得O，M，S三点共线6(2007广东)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由分析：本小题主要考查椭圆、圆和直线、解二次方程等基础知识解：(1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(xp)2(yq)28.因为直线yx与圆C相切于坐标原点O，所以O在圆C上，且直线OA垂直于直线yx，所以或因为点A(p，q)在第二象限，所以p0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)因为椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，所以2a10a5，故椭圆右焦点为F(4,0)若圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，则有|QF|OF|，所以(x04)2y42，且xy0. 因为Q(x0，y0)在圆上，所以有(x02)2(y02)28. 解，得故圆C上存在满足条件的点Q.6用心 爱心 专心
