《2013年全国各省(市)高考数学真题分类汇编(四)(立体几何)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年全国各省(市)高考数学真题分类汇编(四)(立体几何)（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2013 年全国各省 市 高考真题数学 理 年全国各省 市 高考真题数学 理 分类汇编与解析分类汇编与解析 四 立体几何 四 立体几何 黑龙江 黑龙江 zhangyajun131 1 2013 安徽卷安徽卷 19 题 题 本小题满分 13 分 如图 圆锥顶点为 底面圆心为 其母线与底面所成的角po 为 22 5 和是底面圆上的两条平行的弦 轴与平面ABCDOOP 所成的角为 60 PCD 证明 平面与平面的交线平行于底面 PABPCD 求 cosCOD 解析 mABPCDABPCDCDCDABmC直线面面且直线面设面 DPPAB ABCDmABCDAB面直线面 所以 2 ABCDDPPAB
2、的公共交线平行底面与面面C r PO OPFFCDr 5 22tan 60 由题知 则的中点为线段设底面半径为 5 22tan1 5 22tan2 45tan 2 cos 5 22tan60tan60tan 2 COD r OF PO OF 223 3 1 2 3 2 1cos 1 2 5 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD 212 17cos 212 17cos CODCOD所以 2 2 2013 北京卷北京卷 17 题 题 本小题共 13 分 如图 在三棱柱中 是边长为 的正方形 平 111 ABCABC 11 AAC C4 面平面 ABC 11 AAC C3AB
3、 5BC 求证 平面 1 AA ABC 求二面角的余弦值 111 ABCB 证明 在线段上存在点 使 1 BCD 得 并求的值 1 ADAB 1 BD BC 3 2013 福建卷福建卷 19 题 题 本小题满分 13 分 如图 在四棱柱中 侧棱 1111 ABCDABC D 1 AAABCD 底面 ABDC 1 1AA 3ABk 4ADk 5BCk 6DCk 0 k 1 求证 11 CDADD A 平面 2 若直线与平面所成角的正弦值为 求 的值 1 AA 1 ABC 6 7 k 3 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱 1111 ABCDABC D 柱拼接成一个新的棱柱 规定 若拼接成的
4、新的四棱柱形状和 大小完全相同 则视为同一种拼接方案 问 共有几种不同的 方案 在这些拼接成的新四棱柱中 记其中最小的表面积为 写出的表达式 直接写出答案 不必要说明理由 f k f k C1 B1 A B C A1 3 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 柱体的概念及表面积等本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 柱体的概念及表面积等 基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合 思想 分类与整合思想 化归与转化思想 满分思想 分类与整合思想 化归与转化思想 满分 13 分 分 解
5、 取中点 连接CDEBE ABDEQ3ABDEk 四边形为平行四边形且 ABED BEAD 4BEADk 在中 BCEV4 3 5BEk CEk BCk Q 222 BECEBC 即 又 所以90BEC BECD BEADQCDAD 平面 平面 1 AA QABCDCD ABCD 又 平面 1 AACD 1 AAADA ICD 11 ADD A 以为原点 的方向为轴的正方向建立如图D 1 DA DC DD uu u r uuu r uuur x y z 所示的空间直角坐标系 4 0 0 Ak 0 6 0 Ck 1 4 3 1 Bkk 1 4 0 1 Ak 所以 4 6 0 ACkk uuu r
6、 1 0 3 1 ABk uuu r 1 0 0 1 AA uuu r 设平面的法向量 则由 1 ABC nx y z 1 0 0 AC n AB n uuu r uuu r 得取 得 460 30 kxky kyz 2y 3 2 6 nk 设与平面所成角为 则 1 AA 1 ABC 1 1 1 sin cos AA n AA n AAn uuu r uuu r uuu r 4 C D OB E A H 解得 故所求 的值为 1 2 66 7 3613 k k 1k k 共有 种不同的方案4 2 2 5 7226 0 18 5 3636 18 kkk f k kk k 4 4 20132013
7、 广东卷广东卷 1818 题 题 本小 本小题满题满分分 14 分 分 如图 1 在等腰直角三角形中 分别是ABC90A 6BC D E 上的点 AC AB2CDBE 为的中点 将沿折起 得到如图 2 所示的四棱锥OBCADE DE 其中 ABCDE 3A O 证明 平面 A O BCDE 求二面角的平面角的余弦值 ACDB 解析解析 在图 1 中 易得3 3 2 2 2OCACAD 连结 在中 由余弦定理可得 OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知 2 2A D 所以 所以 222 A OODA D A OOD 理可证 又 所以平面 A OOE ODO
8、EO A O BCDE 传统传统法法 过作交的延长线于 连结 OOHCD CDHA H 因为平面 所以 A O BCDEA HCD 所以为二面角的平面角 A HO ACDB C O B DE A C D OB E A 图 1图 2 5 C D O x E A 向量法向量法图图 y z B 结合图 1 可知 为中点 故 从而HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以 所以二面角的平面角的余弦 15 cos 5 OH A HO A H ACDB 值为 15 5 向量法向量法 以点为原点 建立空间直角坐标系如图所示 OOxyz 则 0 0 3 A 0 3 0C 1 2 0D 所以
9、 0 3 3CA 1 2 3DA 设为平面的法向量 则 nx y z A CD 即 解得 令 得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1 1 3n 由 知 为平面的一个法向量 0 0 3OA CDB 所以 即二面角的平面角 315 cos 535 n OA n OA n OA ACDB 的余弦值为 15 5 5 2013 广西卷广西卷 19 题 题 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 都是等边三角902 PABCDABCBADBCADPABPAD 中 与 形 I 证明 PBCD II 求二面角 APDC 的大小 6 7 6 6 20132013 全国
10、新课标二卷全国新课标二卷 1818 题题 本小题满分 12 分 如图 直棱柱 ABC A1B1C1 中 D E 分别是 AB BB1 的中点 AA1 AC CB AB 2 2 证明 BC1 平面 A1CD 求二面角 D A1C E 的正弦值 B C A A 1 B 1 C 1 D E 8 9 7 7 20132013 年河南山西河北卷年河南山西河北卷 18 本小题满分共 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB A A1 BA A1 60 证明 AB A1C 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 2 求直线 A1C 与平 面 BB1C1C 所成角的正弦值 命题
11、意图 本题主要考查空间线 面 线线垂直的判定与性质及线面角 的计算 考查空间想象能力 逻辑推 论证能力 是容易题 解析 取AB中点E 连结CE 1 AB 1 AE AB 是正三角形 1 AA 1 BAA 0 60 1 BAA AB CA CB CE AB E AB 1 AE 1 CEAE 面 1 CEA AB 6分 1 AC 由 知 EC AB AB 1 EA 又 面 ABC 面 面 ABC 面 AB EC 面 11 ABB A 11 ABB A 11 ABB A EC 1 EA EA EC 两两相互垂直 以 E 为坐标原点 的方向为 轴 1 EAEA x 正方向 为单位长度 建立如图所示空间
12、直角坐标系 EA Oxyz 有题设知 A 1 0 0 0 0 C 0 0 B 1 0 0 则 1 A33 10 1 0 1 0 0 9BC 3 1 BB 1 AA 3 1 AC 33 分 设 是平面的法向量 n x y z 11 CBBC 则 即 可取 1 1 1 0 0 BC BB n n 30 30 xz xy n3 1 cos AC n 1 1 AC AC n n 10 5 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 12 分 10 5 8 2013 湖北卷湖北卷 19 题 题 如图 是圆的直径 点是圆上异于的点 直线平ABOCO A BPC 面 分别是 的中点 ABCEFPA
13、PC I 记平面与平面的交线为 试判断直线 与平面的BEFABCllPAC 位置关系 并加以证明 II 设 I 中的直线 与圆的另一个交点为 且点满足lODQ 记直线与平面所成的角为 异面直线与 1 2 DQCP PQABC PQ 所成的角为 二面角的大小为 求证 EF ElC sinsinsin 第 19 题图 11 解析与答案 I EFAC AACABC 平面EFABC 平面 又EFABC A平面EFBEF 平面EFl AlPAC A平面 II 连接 DF 用几何方法很快就可以得到求证 这一题用几何 方法较快 向量的方法很麻烦 特别是用向量不能方便的表示角的 正弦 个人认为此题与新课程中对
14、立体几何的处理方向有很大的偏 差 12 13 9 2013 年湖南卷年湖南卷 19 题 题 本小题满分 12 分 如图 5 在直棱柱 1 111 ABCDABC DADBC 中 14 1 90 1 3 BADACBD BCADAA 15 10 2013 年江苏卷年江苏卷 16 题 题 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 ABCS SABSBCBCAB 过作 垂足为 点分别是棱ABAS ASBAF FGE 16 的中点 SCSA 求证 1 平面平面 EFGABC 2 SABC 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC
15、的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB面 SBC AC面 ABC 所以 平面平面 EFGABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA平面 SAB 所以 SABC 11 2013 年江西卷年江西卷 19 题 题 本题满分 分 12 分 如图 四棱锥中 PABCD PA ABCD EBD 平面为的中点 GPD为的中点 连接 3 1 2 DABDCB EAEBABPA 并延长交于 C
16、EADF 1 求证 ADCFG 平面 2 求平面与平面的夹角的余弦值 BCPDCP A B C S G F E 17 18 19 12 2013 年辽宁卷年辽宁卷 18 题 题 本小题满分 12 分 已知正方形 分别是边的中点 将沿折ABCDEF ABCD ADE DE 起 如图所示 记二面角的大小为 ADEC 0 证明平面 BF ADE 若为正三角形 试判断点在平面内的射影是ACD ABCDEG 否在直线上 证明你的结论 并求角 的余弦值 EF 本小题主要考查空间中的线面关系 解三角形等基础知识 考查空本小题主要考查空间中的线面关系 解三角形等基础知识 考查空 间想象能力和思维能力 满分间想象能力和思维能力 满分 12 分 分 I 证明 证明 分别是正方形的边 的中点 EFABCDABCD 且 四边形是平行四边形 EBFD EBFD EBFDBFED 平面 而平面 平面 4 分ED AEDBF AEDBF AED II 解法一解法一 点在平面内的射影在直线上 ABCDEGEF 过点作平面 AAG BCDE 垂足为 连结 GGCGD 为正三角形 ACD ACAD GCGD A B C
