《38第八节-雅可比与高斯—塞德尔迭代法上课讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《38第八节-雅可比与高斯—塞德尔迭代法上课讲义（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、生成向量序列 x k 若 第八节雅可比迭代法与高斯 塞德尔迭代法 设方程组 一 雅可比迭代法 建立迭代格式 称为雅可比 Jacobi 迭代法 又称简单迭代法 或缩写为 记矩阵A D L U 其中 于是雅可比迭代法可写为矩阵形式 其Jacobi迭代矩阵为B1 BJ D 1 L U 即 例如已知线性方程组Ax b的矩阵为 其雅可比迭代矩阵为 在Jacobi迭代中 计算xi k 1 2 i n 时 使用xj k 1 代替xj k 1 j i 1 即 建立迭代格式 二 高斯 塞德尔迭代法 或缩写为 称为高斯 塞德尔 Gauss Seidel 迭代法 其G S迭代矩阵为 B2 BG D L 1U 于是高
2、斯 塞德尔迭代法可写为矩阵形式 例如已知线性方程组Ax b的矩阵为 其G S迭代矩阵为 例1用雅可比迭代法解方程组 解 Jacobi迭代格式为 精确解是 解 Gauss Seidel迭代格式为 例2用Gauss Seidel迭代法解上题 取x 0 0 0 0 T计算如下 定理1在下列任一条件下 雅克比迭代法收敛 三 迭代收敛的充分条件 证明见书P77 定理3若矩阵A行 或列 严格对角占优 则解线性方程组Ax b的Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法均收敛 证 设矩阵A行严格对角占优 由 由此根据第五节定理4知道 I BJ 是非奇异矩阵 因此A D I BJ 也是非奇异矩阵 因为
3、所以Jacobi迭代收敛 所以有 结论若矩阵A行 或列 严格对角占优 则A是非奇异矩阵 下面证明Gauss Seidel迭代法收敛 下面证明 1 若不然 即有 使 1 则 这说明 D L U是奇异矩阵 是行严格对角占优矩阵 由结论知它是非奇异矩阵 这与式 1 矛盾 所以 1 从而 BG 1 即Gauss Seidel迭代法收敛 即矩阵 定理4若A为正定矩阵 则方程组Ax b的Gauss Seidel迭代法收敛 证因为A是对称正定的 所以有A D L LT 对BG D L 1LT 设 为BG的特征值 y为对应的特征向量 即有 D L 1LTy y LTy D L y 则 LTy y D L y
4、y 从而 因A正定 所以D正定 故设 Dy y 0 所以 1 从而 BG 1 故Gauss Seidel迭代法收敛 令 Ly y a ib 则由复向量内积的性质有 定理5若Jacobi迭代矩阵BJ为非负矩阵 则下列关系有一个且仅有一个成立 1 BJ BG 0 2 0 BG BJ 1 3 BJ BG 1 4 1 BJ BG 说明 当Jacobi迭代矩阵BJ为非负矩阵时 Jacobi方法和Gauss Seidel方法同时收敛或同时发散 若为同时收敛 则后者比前者收敛快 解雅可比迭代矩阵 故Jacobi迭代法收敛 再由定理5的2 或由A是对称正定阵知Gauss Seidel迭代法也收敛 且比Jacobi迭代法收敛得快
