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1、圆本章总结提升问题1与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例1 有下列说法：圆中最长的弦不一定是直径；同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；等弧的长度一定相等；经过圆内一个定点可以作无数条弦；经过圆内一个定点可以作无数条直径其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个问题2垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例2 如图27T1，CD为O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC.(1)求证：AECDEB；(2)若CDAB，AB8，DE2，求O的半径图27T1【归纳总结】应用垂径
2、定理时应注意：定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决问题2圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例3 已知：如图27T2，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于点E，交于点D，连结AC，OC，CD，BD.(1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC4，DE1，求O的半径图27T2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，
3、那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想问题4圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例4 如图27T3，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)BECADC；(3)ACCE2PDAD.图27T3【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等问题5圆内接四边形什么是
4、圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例5 如图27T4所示，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC.若ABC105，BAC25，则E的度数为()图27T4A45 B50 C55 D60【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”问题6直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例6 如图2
5、7T5，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BDBA，BEDC交DC的延长线于点E，连结AD.求证：(1)1BAD；(2)BE是O的切线图27T5【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理问题7求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例7 如图27T6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()图27T6A25
6、6B.6 C.6 D.6【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解问题8圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例8 如图27T7，一扇形纸片的圆心角AOB为120，弦AB的长为2 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为()图27T7A. cm B. cm C. cm D. cm问题9正多边形与圆
7、正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例9 (1)已知：如图27T8，ABC是O的内接正三角形，P为上一动点，求证：PAPBPC；(2)如图，四边形ABCD是O的内接正方形，P为上一动点，求证：PAPCPB；(3)如图，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明图27T8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形；(2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形. 教师详解详析【整合提升】例1解析 C只有正确例2解析 (1)根据“在同
8、圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可以得到这两个三角形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可(2)根据垂径定理，可以证明E为AB的中点，设O的半径为r，则OEr2，根据勾股定理可得一个关于r的方程，解方程即可解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得AD，CABD，AECDEB.(2)CDAB，CD为O的直径，BEAB4.设O的半径为r.DE2，OEr2.在RtOEB中，由勾股定理，得OE2BE2OB2，即(r2)242r2，解得r5，即O的半径为5.例3解析 (1) 此题是结论开放性问题由于AB是O的直径，所以ACB90(直径所对的圆周角是
9、直角)进一步可得AC2BC2AB2，或AABC90；因为 ODBC于点E，交于点D，所以CEBE，CDBD，(垂径定理)，OE2BE2OB2.进一步可得到：CODBOD，ACOBCODBOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到ACOD，BOD是等腰三角形等 (2)在RtOBE中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径解：(1) 答案不唯一，如：BECE，BED90，BODA，ACOD，ACBC，OE2BE2OB2，BOD是等腰三角形等(2)设O的半径为r，则OBr, OEr1.ODBC，BECEBC2.在RtOBE中，OE2BE2OB2, (r1)222
10、r2，解得r.故O的半径为.例4解析 (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由ACCE联想到BECADC.再由PDAD联想到证明BPDABD，综合可得ACCE2PDAD.证明：(1)AB是O的直径，ADB90，即ADBC.又ABAC，D是BC的中点(2)在BEC与ADC中，CC，CBECAD，BECADC.(3)BECADC，.D是BC的中点，2BD2CDBC，则2BD2ACCE.ABAC，ADBC，CADBAD.又CADCBE，CBEBAD.又BDPADB，BPDABD，则BD2PDAD.由得ACCE2BD22PDAD，AC
11、CE2PDAD.例5解析 B因为四边形ABCD内接于O，所以ADC180ABC18010575.因为，所以DCEBAC25.因为ADCDCEE，所以EADCDCE752550.故选B.例6证明：(1)BDBA，BDABAD.又1BDA，1BAD.(2)如图，连结BO，AC为O的直径，ABC90.BADBCD180，1BCD180.OBOC，1CBO，CBOBCD180，OBDC.BEDC，BEOB.又OB是O的半径，BE是O的切线例7解析 D由菱形的性质，在RtABO中，易得AB5，于是以AB为直径的半圆的面积为()2，阴影部分的面积为以AB为直径的半圆的面积减去RtABO的面积，即6.点评
12、求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积例8解析 A由AOB为120，弦AB的长为2 cm，可以求出OAOB2 cm，所以扇形的弧长为2，它等于圆锥的底面周长，即2r2，解得r(cm)例9解：(1)证明：如图，延长BP至点E，使PEPC，连结CE.1260，3460，CPE60，PCE是等边三角形，CEPC，E360.又EBCPAC，BECAPC，PAEBPBPEPBPC.(2)证明：如图，过点B作BEPB交PA于点E.122390，13.又易知APB45，PBEB，PEPB.又ABCB，ABECBP，PCEA，PAEAPEPCPB.(3)PAPCPB.证明：如图，在AP上截取AQPC，连结BQ.又BAPBCP，ABCB，ABQCBP，QBPB.又易知APB30，PQPB，PAAQPQPCPB.9
