第四章--单端口网络和多口网络

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1、第四章单端口网络和多端口网络 自从Guillemin和Feldkellerz 在电子工程专业领域中引入单端口及多端口网络模型以来 在重组和化简复杂电路以及深入研究有源 无源器件的特性方面 这些网络模型已成为不可缺少的工具 不仅如此 网络模型的重要意义已经远远超出了电子工程学科 甚至影响到结构工程 机械工程以及生物医学中的振动分析这些完全不同的领域 例如 三端Cf网络就非常适合于描述医学压电传感器及其机电转换机制 网络模型的众多优点包括可以大量减少无源 有源器件数目 避开电路的复杂性和非线性效应 简化网络输人 输出特性的关系 其中最重要的是不必了解系统内部的结构就可以通过实验确定网络输人 输出参

2、数 这种所谓 黑盒子 方法对主要从事电路整体功能研究而不分析电路中单个器件特性的工程师们具有很大的吸引力 黑盒子 方法对于射频和微波电路是特别重要的 因为在射频和微波电路中 麦克斯韦方程组的完全场解不是极难得到就是结果过于复杂而不便应用 例如在滤波器 谐振器和放大器的实际工程设计中一样 在下面几节中 我们的口标是建立基本网络的输人 输出参数关系 如阻抗参参量 导纳参量 h参量以及ABCD参量 然后导出它们之间的换算关系 我们将给出网络连接的规则 即如何用单个网络单元通过串联和并联的级连方式构成较复杂的电路 最后 还要介绍散射参量 它是通过功率波关系分析射频及微波电路与器件的重要实用方法 4 1

3、基本定义 在开始进行网络分析之前 我们必须确定一些与电压 电流方向和极性有关的基本规定 为此 我们确定了如图4 1所示的基本规定 不管是单端口网络还是N端口网络 电流的脚标指明了它将流人的相应网络端口 而电压的脚标指明了测量该电压的相应网络端口 在确定各种网络参数的规则时 我们先根据双脚标阻抗参量建立电压一电流关系 其中n和m的取值从1到n 各网络端口 n 1 N 的电压为 1端口 2端口 和N端口 由此可见 每个端口n不但受到本端口阻抗的影响而且也受到其他所有端口阻抗线性叠加效果的综合影响 如果采用更简单的符号 4 1 式可以变换成阻抗矩阵 Z矩阵 形式 或矩阵符号表达式 其中Iv 和 I

4、分别是电压矢量v1 v2 vn和电流矢量是阻抗矩阵 公式 4 2 中的每个阻抗元素可以通过以下规则求得 这表明 当第m端口的输人电流为而且其他端口均为开路状态 即 时 第n端口测得的电压是 采用电压作为自变量 则电流可以表示为 或 其中 与公式 4 4 类似 我们定义导纳矩阵 Y矩阵 的元素为 对比公式 4 2 和公式 4 5 显然阻抗矩阵与导纳矩阵互为倒数 例题4 1形网络的矩阵参量如图4 2所示 已知形网络 由于网络的形状类似于希腊字母而得名 由阻抗 以及构成 求解该网络的阻抗矩阵和导纳矩阵 解 阻抗矩阵元素可以在适当的开路 短路终端条件下利用 4 4 式求得 求解必须求出在2端口电流为零

5、的条件下 1端口电压降与1端口电流的比值 2端口电流为零的条件等价于终端开路条件 所以 阻抗等于阻抗和的并联 的值就是1端口的电压降与2端口电流的比值 此时必须保证1端口的电流为零 即1端口必须开路 1端口电压降等于阻抗上的电压 可以通过分压定律求得 其中是串联阻抗和上的电压降 其值为 所以 同理 我们可以得到其他两个阻抗矩阵元素 所以 任意形网络的阻抗矩阵可以表示为 导纳矩阵元素可以利用 4 7 式导出 求解必须求出在2端口短路的条件下 即 1端口电流与2端口电压的比值 导纳矩阵元素的值为1端口电流与2端口电压的比值 此时要求1端口短路 即令 必须注意 当2端口的电压为正值时 1端口的电流是

6、流出的 即电流为负值 其他导纳元素可用类似方法求得 则导纳矩阵的最终形式为 其中 以及 直接计算表明 我们求出的阻抗矩阵和导纳矩阵确实存在互为倒数的关系 这就证明了 4 8 式的正确性 通过假设网络端口为开路或短路状态 可以很容易地测得全部矩阵元素 然而 随着频率不断升高并达到射频界限 终端的寄生效应则已不能忽略 此时必须采用其他测量方法 例题4 1表明 阻抗矩阵和导纳矩阵都是对称的 一般说来 线性 无源网络都是如此 无源的意思是指不包含任何电流源或电压源 对称网络的数学表达为 根据 4 9 式 导纳矩阵同样有此关系 事实上 可以证明任何互易网络 即无源 线性 且无耗的N端口网络都是对称的 除

7、了阻抗和导纳网络参量以外 根据电压和电流参考方向的不同规定 还可导出两套更有用的参量 就两端口网络而言 根据图4 1 可以定义ABCD参量矩阵 级连矩阵 和h参量矩阵 混合矩阵 这些矩阵元素的计算方法与前面介绍的阻抗矩阵 导纳矩阵元素的计算方法完全相同 例如 欲求解 4 11 中的 令为零并计算与比值即 位得注意的是 h 参量矩阵元素 和分别定义了正向电流和反向电压增益 另外两个元素确定了网络的输人阻抗 和输出阻抗 正是由于h参量的这些特性 它经常被用于分析低频晶体管模型 下面的例题将介绍如何导出低频双极结晶休管 BJT 的h参量矩阵 例题4 2双极结晶体管 BJT 的低频h参量如图4 3所示

8、 采用h参量描述共发射极连接的低频 小信号BJT模型 图4 3共发射极连接的低频 小信号BJT模型 解 在图4 3所示的晶体管模型中 和二分别为晶体管的基极一发射极 基极一集电极 集电极一发射极之间的电阻 电流源的电流取决于基极 发射极电阻上的电流如果根据 4 10 式求解h参量矩阵元素 必须将基极一集电极短路 即令 然后计算基极一发射极电压与基极电流的比值 根据图4 3中的符号可知等于和的并联值 输入阻抗 根据类似的步骤 可以导出其他3个人参量矩阵元素的表达式 大多数实用晶体管的电流放大系数R都是远远大于1的 而且集电极一发射极电阻也远远大于基极一发射极电阻 根据这些情况 我们可以简化晶体管

9、的上述h参量矩阵元素表达式 采用h参量描述BJT是我们经常要用到的方法 BJT的技术参数表中通常会给出其h参量 由于例题4 2中出现了电流源 h参量矩阵就不再是对称的 而且晶体管模型也不是互易的 在低频电子电路设计中 h参量矩阵元素通常用表示 表示 表示表示 到此为止 我们考虑的问题是 在已知电路拓扑结构和电路元件参数的情况 下导出矩阵参量 然而 在实际设计工作中 更经常遇到的是其逆问题或者根据一些侧量数据求出未知或不确定器件的等效电路 当器件的性能与其特定的工作条件有关时 上述问题变得非常重要 而且在不同的电路工作状态下评估器件的性能也是必要的 这时若采用等效电路的方法 工程师就能够在不同的

10、工作条件下 以合理的精度求得器件或电路的响应 在下面的例题中 我们将根据已知的h参量矩阵导出BJT的内阻 例题4 3根据BJT的h参量测量数据 求其内阻和电流增益根据图4 3所示的双极晶体管等效电路 利用h参量的测量数据 摩托罗拉2n3904晶体管测试参数 求内阻和电流增益解 与例题4 2方法相同 图4 3所示等效电路的h参量矩阵元素由以下4个方程给出 用 4 12 式除以 4 13 式 可知基极 集电极电阻等于比 所以根据已知条件 可得 将代入 4 12 式或 4 13 式 可以求得 求出和以后 根据可求得电流放大系数 然后根据 4 15 式就可求得集电极 发射极电阻 根据我们求出的数据可见

11、确实比小很多 此例题介绍了一种基本方法 即如何利用h参量的测量值描述双极晶体管的电路模型 在第7章里 我们还将进一步讨论根据实验数据 逆向 确定电路模型参数的原则 4 2互联网 4 2 1网络的串联 图4 4是一对双端口网络相互串联的示意图 其中每个网络都是用阻抗矩阵描述的 图4 4一对双端口网络的串联 在此例中 每个电压可以相互叠加而每个电流保持不变 其结果是 其中新复合网络的 Z 表达式为 由于可能发生短路 必须注意防止不加选择地将不同网络相连 图4 5 a 显示了这种情况 如图4 5 b 所示 引人变压器可以防止短路情况的发生 在此例中 变压器使第2个网络的输人 输出端口相互隔离 然而

12、这种方法只能适用于交流信号 因为变压器的作用是高通滤波器 它阻断了所有直流分量 如图4 6所示 当两个网络输出端口交叉连接时 采用h参量描述最为合适 当两个网络采用图4 b所示方式相连接时 输人端口的电压和输出端日的电流都符合叠加关系 即和 而输出端口的电压和输入端口的电流则相等 即和 根据这些我们可以得到结论 整个系统的h参量等于单个网络h参量的总和 如图所示 达林顿管和的就是这种连接方式的一个例子 图4 5 a 串联中的短路情况 b 采用变压器防止短路情况 4 2 2网络的并联 一对用导纳矩阵Y 和Y 表示的并联两端口网络如图4 8所示 与 4 15 不同的是其中电流可以叠加 而且新导纳矩

13、阵由一单个导纳矩阵的总和定义 4 2 3级连网络 ABCD参量特别适合于描述级连网络 例如图4 9所示的双晶体管配置 在此例中 第1个网络的输出电流与第2个网络的输人电流在数值上相等 符号相反 即 第1个网络输出端口的电压降V2 等于第2个网络输人端口的电压降V1 所以 可以写出如下关系 整个网络的ABCD参量矩阵等于各个网络ABCD参量矩阵的乘积 图4 9两个网络的级连 在以后的章节中我们将看到 微波电路通常叫以采用简 单网络的级连方式表达 因此 导出简单两端口网络的ABGD参量表达式是非常重要的 这些两端GJ网络可用作构成更复杂电路的基本单元 在这一小节中 我们将求解几个例题 包括导出传输

14、线 串联阻抗以及无源T形网络的ABCD参量矩阵 其他常用的电路 如并联导纳 无源形网络以及变压器等 将留作本章末尾的习题 见习题4 10 4 I2 全部计算结果都列在本小节末尾的表4 1中 4 2 4ABCD网络参量小结 例题4 4阻抗元件的ABCD参量求解下面图中网络的ABCD参量 解 根据 4 10 式的定义 欲求解A元素 必须在2端口电流为零的情况下 即2端口开路 求出1端口电压降与2端口电压降的比值 在此情况下 显然所考察的电路的两个端口电压相等 为求解B元素 必须在2端口短路的情况下 求出1端口电压降与2端口输人电流的比值 根据电路的拓扑结构 这个比值等于阻抗Z 根据ABCD参量的定

15、义 4 10 可求出C元素和D元素 ABCD参量矩阵元素的求解方法与前面介绍的Z参量 Y参量和h 参量矩阵元素的求解方法相类似 这些元素的求解精度同样与实际能够实现的开路 短路终端条件的近似程度有关 下面的例题求出了无源T形网络的ABCD参量矩阵 在求解各元素时 需要借助于串联及并联阻抗的ABCD参量矩阵 例题4 5求解T形网络的ABCD参量矩阵求解下面图中所示T形网络的ABCD参量矩阵 解 这个问题可以采用两种不同的方法求解 第1种方法是直接应用ABCD参量矩阵元素的定义 按照前一例题的方法计算矩阵元素 另一种方法是利用已知的单个串联 单个并联阻抗元件的ABCD参量矩阵 如果采用第二种方法

16、必须首先将原始电路分解为如下图所示的单元电路 我们已经知道 整个电路的ABGD参量矩阵等于各单元电路ABCD参量矩阵的乘积 利用例题4 4和例题4 8的结论 可以得到 在分析能够由多个简单网络单元构成的复杂网络问题中 此例题显示了采用ABCD参量矩阵的优越性 作为最后一个例题 我们将计算一段传输线的ABCD参量矩阵 例题4 6传输线段ABCD参量矩阵的计算计算下图所示传输线段的ABCD参量矩阵 已知传输线特性阻抗为Zo 传播常数为 长度为 解 仿照例题4 4 我们令2端口有开路 短路终端条件 在此条件下 传输线的分析方法等价于开路 短路线段的分析方法 这种开路 短路传输线的表达式我们已经在2 9 3小节和2 9 2小节讨论过 在此我们注意到 对于开路和短线 电压和电流由如下关系式给出 见 2 71 式和 2 72 式 其中传输线长度d从开路点算起 即本例中的2端口 对于长度为l的短路传输线段 电压和电流由 2 67 式和 2 68 式确定 其中d是传输线从2端口到1端口的长度 除了这个关系式外 需要特别强调的是 电流的定义是流向负载的 所以电流在1端口等于 在2端口等于 确定了电压 电