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1、专业资料推荐微积分入门1. 微商（导数） 1.用来分析变化的工具 2.斜率=dy/dx 3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x0)f(x)=b 4.正向接近（+）与负向接近（-）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限 5.极限的模式：lim(xa)f(x) 不存在（如lim(xa)1/x) lim(xa)f(x)存在，但不 是f(a)(如lim(x1)（x2-3*x+2)/(x-1) lim(xa)f(x)存在，是f(a). 6.求导公式：lim(h0)( f(x+h) -f(x)/h2 导函数 1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f (x)=lim(h0)( f(x+h)
2、 -f(x)/h=lim(dx0)dy/dx 2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F(x)=(d/dx)*(d/dx)*y 3.求导基本公式：p=C p=0(p为常数）(px)=p f(x)+g(x)=f(x)+g(x) 4.常用求导公式：（xn)=lim(h0)(x+h) n-xn)/h=n*x(n-1) f(x)*g(x)=f(x)*g(x)+f(x)*g(x) y=sinx y=cosx ; y=cosx y=-sinx y=ex y=ex ; y=Lnx y=1/x f(x)/g(x)=(f (x)*g(x)-f(x）*g(x)/g2(x)
3、 5.y=f(x)的一阶微商f(x)=dy/dx=lim(dx0)(f(x+dx)-f(x)/dx 二阶微商f(x)=df (x)/dxd2*y/d*x2 n阶微商（x)=d(x)/dx=dn*y/d*xn =dx/dt= ; =d/dt=d2x/dt2=3 求导规则和公式 1.函数y=(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得 d(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f (y) 2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x)的导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f (u)*g(x) 3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(
4、t),x=x(t)给出，则有： dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=/ 4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得 的du(x)+&-v(x) / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x) 5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得 du(x)v(x)/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v (x)+v(x)u (x)4 导函数的基本性质 1.af(x) =af (x) 2.f(x)+g(x) =f (x)+g(x) 1&2af(x)+bg(
5、x) =af (x)+bg (x) (a,b为常数） 3.f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x)函数积求导的方法推导： f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x) 推导：f(x)*g(x) =lim(h0)f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)/h =lim(h0)f(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-g(x) /h =f (x)*g(x)+f(x)*g(x) 4.(x+b)n=n(x+b)(n-1) 5.(ax+b)n=an(ax+b)(n-1)5. 二项式定理（展开(x+h)n) 1.(x+h)n=+h+.nCk表示“
6、从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式） 如 nC1=n. 2.(x+h)1=x+h 1 1 (x+h)2=x2+2xh+h2 1 2 1 (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3 1 3 3 1 (x+h)4=x4+4x3h+6x2h2+4xh3+h4 1 4 6 4 1 （系数）杨辉三角 3.= =1/(1+x)=1-x+x2-x3+.=1+x+x2+.系数函数的导数：（最初比） 令o=0,得最末比（流数）导数 & 反流数（1/+1） 六使用导数绘制图形 例1：绘制y=2x3+3x2-12x+6的图像 y =6x2+6x-12=0 X1=-2 =26 x2=1 =-1 x .
7、-2 . 1 . f (x) + 0 - 0 + f(x) 26 -1 要点：求导找到极值点 求极值点间的增减趋势 例1图 例2：判断曲线凹凸的方法求二次微分f (x)的正负 下凸切线斜率增大f (x)为增函数f (x)0 上凸切线斜率减小f (x)为减函数f (x)0 凹凸性增减表（f(x)=x3-3x f (x)=3x2-3) x . -1 . 0 . 1 . f (x) + 0 - - - 0 + f (x) - - - 0 + + + f(x) 2 0 -2 增加上凸 减小上凸 减小下凸 增加下凸 例2图 由上凸下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3x f(x)=ax3+b
8、x2+cx+d f (x)=3ax2+2bx+c 7 积分（面积）与导数（斜率）的关系 1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx)(关于t求f(t)积分） 导数(xn)=? 积分（?)=nx(n-1) 为积分符号（Summation合计) 2.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如=(1/3)x3+C(C为积分常数） 求导函数（导数算式）+初始条件（信息） 基础函数（原函数） 3. 证明：设F(x)=f(x) , G(x)=g(x) aF(x)+bG(x) =aF(x)+bG(x)=af(x)+bg(x) 例： = =(a/4)x4+(b/3)x3+(c/2)x2+dx+K(K为积
9、分常数） 4.不定积分的原函数有无数个 证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分 F(x)=f(x) g(x)=f(x)(F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=0F(x)-G(x)=C8 1.定积分（从a到b ) .定积分的结果不是函数，而是常数 x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念 2.定积分的性质 3.常用初等函数积分公式 九 lim(n0)长方形1+长方形2+.+长方形n =lim(n0)宽*（长1+长2+.+长n） =lim(n0)宽*长(n)=lim(n0)(b-a)/n)f(x1)+f(x2)+.+f(xn)1. .S1S2 S1=lim(n0)(b-a)/n) S2
10、=lim(n0)(b-a)/n) 如果长方形宽无限缩小，那么S1S2 2. 例：求函数f(x)=x2在0 ，1之间，函数图象与x轴围成的图形面积 S=lim(n0) =lim(n0)(1/n3)(n-1)n(2n-1)/6)=lim(n0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3 公式： f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)2十定积分的推导 S=lim(x0)(F(xn)-F(xn-1)+(F(xn-1)-F(xn-2)+.+(F(x1)-F(xo)=F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0) S=S(x+x)-S(x) & S=f(x)xS(x)=f(x)对S(x),由S(x)=f(x)得：S(x)=f(x)dx=F(x)+C当x=a时：S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0 S(x)=F(x)
