(精编资料推荐)一元二次方程的解法例析

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1、专业资料推荐一元二次方程的解法例析【要点综述】: 且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,一般式为:。一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程,要先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理,如能整理为的形式,那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”,将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。如下表:方法适合方程类型注意事项直接开平方法0时有解,0时无解。配方法二次项

2、系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方。公式法0时,方程有解;0时,方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】 例1:已知,解关于的方程。 例2 :用开平方法解下面的一元二次方程。 (1); (2) (3); (4) 说明:解一元二次方程时,通常先把方程化为一般式,但如果不要求化为一般式,像本题要求用开平方法直接求解,就不必化成一般式。用开平方法直接求解,应注意方程两边同时开方时,只需在一边取正负号,还应注意不要丢解。例3 :用配方法解下列一元二次方程。(1); (2) 说明:配方

3、是一种基本的变形,解题中虽不常用,但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行:先把二次项系数化为1,并把常数项移到一边;再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。 例4:用公式法解下列方程。(1); (2) 说明:公式法可以用于解任何一元二次方程,在找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量,再求出判别式的值,解得的根要进行化简。例5:用分解因式法解下列方程。 (1); (2) 说明:使用分解因式法时,方程的一边一定要化为0,这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0,把另一边分解

4、因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。 从上述例题来看,解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化,转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0,把方程另一边分解因式,配方,或利用求根公式法。另外,在解一元二次方程时,要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法,找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。 例6:选用恰当的方法解下列方程。 (1); (2) (3); (4) 总结:直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在使用公式前应先计

5、算出判别式的值,以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般式,同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时,首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法,找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式,但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。 【附训练典题】1、用直接开平方法解下列方程: (1); (2); (3); (4). 2、用配方法解下列方程:(1); (2); (3); (4). 3、用公式法解下列方程: (1); (2); (3); (4). 4、用因式分解法解下列方程: (1); (2); (3); (4). 5、选用适当的方法解下列方程: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8)6

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