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1、导数在初等数学中的应用毕业论文 目录1 引言12 研究导数在函数中的应用12.1 导数在研究函数的单调性中的作用12.2 导数在求函数的极值中的作用32.3利用导数求函数的值域43 研究导数在判别方程根中的应用44 研究导数在不等式中的应用65 研究导数在恒等式的证明中的应用86 导数在数列方面的应用107 研究导数的几何应用118 导数解决实际生活中的问题128.1 成本问题128.2 制作容器139 导数在应用时注意的部分问题14总结15参考文献16致谢16 .专业.专注. 1 引言 导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动
2、规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。高中数学新课程打破先讲极限后讲导数的顺序，直接通过实际背景和具体应用实例，即通过与社会生活联系紧密的速度、膨胀率、增长率等变化率引入导数，旨在用导数反映的变化率研究初等函数的性质。导数是高等数学的重要概念之一, 它不仅是研究可导函数的重要工具，也是解决数学问题的一个新的重要工具，不仅有利于学生加深对导数概念的理解，突出导数方法简化初等数学复杂问题的特点，加深导数在高中数学特别在高考数学中的应用，拓宽高中数学教学的视野，以达到抛砖引玉的作用。在初等函数中，导数可以解决函数中的极值、最值
3、问题；证明函数的单调性；证明不等式；还可以和解析几何相联系，解决切线问题以及判别方程根的问题等。下面就通过一些实例来谈谈导数在初等数学中的应用。2 研究导数在函数中的应用2.1 导数在研究函数的单调性中的作用过去研究函数的单调性时，一般是根据增函数、减函数的定义来研究，即所谓的“定义法”，学习了导数以后就可以利用函数的一阶导数的符号来研究函数的单调性，即“求导法”.求导法还可以比较简单地确定函数的单调区间。一般地，若函数的某一个区间可导，当 时，在此区间为单调增函数，当 时，为此区间为单调减函数。 例1 证明函数在上是减函数 证明：， ， 在上是减函数。 例2 求函数的单调区间? 解：， 当时
4、，故函数在单调递减， 当时，故函数在骨单调递增， 即函数的单减区间为，单调递增区间为，由以上两例可以看出，利用求导法可以使解题过程更简单。 例3 求下列函数的单调区间： 1； 2； 3 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间 时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出 现的失误 解：1函数的定义域为R， 令，得或， 函数的单调递增区间为（1，0）和； 令，得或， 函数的单调递减区间为和（0，1） 2函数定义域为 令，得， 函数的递增区间为（0，1）； 令，得， 函数的单调递减区间为（1，2）。 3函数定义域为 令，得或， 函数的单调递增区间为和； 令
5、，得且， 函数的单调递减区间是和。说明：依据导数在某一区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式。 2.2 导数在求函数的极值中的作用 可导函数在某一点取得极值的充要条件是该点两侧的导数异号.定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间的极值点取得。一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法： (1) 求函数在上的极值点； (2) 计算在极值点和端点的函数值； (3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是
6、最大值，最小的是最小值。 例4 求函数的极大值、极小值? 解：的导数， 令解得， 在区间单调递增，在区间单调递增，在区间单调递减， 因此当时函数有极大值20，当时函数有极小值9。 例5 求函数在区间的最大值与最小值。 解：， 令，则得极值点， 又；， 的最大值为3，最小值为0 。 例6 求函数在上的最大值和最小值。分析:先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值。 解:由于，则当或时，所以，为函数的单调增区间；当时，所以为函数的单调减区间 又因为，所以，当 时，取得最小值；当时，取得最大值。2.3利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也
7、是难点，方法因题而异，不易掌握但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行。 例7 求函数的值域。分析:先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域。解:显然，定义域为，由于， 又，可见当时，所以在上是增函数，而，所以函数的值域是。 3 研究导数在判别方程根中的应用利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。例8 关于的方程有三个不同的实数根，则的取值围是（）A、（-，-1 B、（-1，5） C、（1，5） D、（-，15，+）分析：首先设求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知图象的
8、大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数的围。解：原方程化为：，设， 令，解得：或， ，解得：，）在取极大值4，在时取极小值-2，根据的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时， -24，解得a的取值围是-15，故选B。例9 设函数f(x)=+6xa对于任意的实数x ,(x)m恒成立,求m的最大值。若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值围。 解: 略 (x)=39x+6=3(x1)(x2) ， 因为当x0 ;当1x2时 ,(x)2时,(x)0， 所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)= a ;当x=2时f(x)取得极小值 f(2)=2a， y=
9、f(x)草图如下: y y1 2 x 1 2 x 图1 图2要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值 f(2)0或f(x) ，取得极大值f(1)或a2 。 变式引申若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值围y=f(x)草图如下: y y1 2 x 1 2 x要使f(x)=0有且仅有两个实根,必须且只需f(x)取得极大值 f(1)=0或f(x)取得极小值 f(2)=0 解得a=2， 变式引申要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值围 y=f(x)草图如下 y 0 1 2 x要使f(x)=0有且仅有三个实根,必须且只需解得2从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y=
10、 f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:1、构造函数y= f(x)。2、求导f(x)。3、研究函数f(x)的单调性和极值。4、画出函数y= f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。5、解不等式或方程,得解。4 研究导数在不等式中的应用不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题 例10 求证：不等式在上成立分析:通过作差，构造函数， 和， 再通过对和求导来判断。证明:构造函数，则，得知在
11、上单调递增，又因为，所以，即成立。又构造函数，则，得知在上单调递增，又因为，所以，即成立。综上所述，原命题成立。 例11 设为任一常数，试证：当时， 证明:当时，取， 因，所以只要证明当时， 或 令，解得稳定点， 当时， 时， 所以，是的最小值点。 即有 ， ， 故当时，成立。 注:利用最值证明不等式，如果函数在上不是单调函数，要证在上有成立，不妨证明在上的最小值；要证在上有成立，不妨证明在上的最大值。5 研究导数在恒等式的证明中的应用在初等数学中一类等式的证明，借助于导数是十分方便的.因为我们只要按照特定的程序，便能较快地得出证明.这种语法的理论依据是由Lagrange中值定理导出的两个推论
12、：推论1：在区间I上，若，则.推论2：在区间I上，若，则.这里C是常数.其证明的一般步骤是：首先选择 （或及），计算并检验（或），从而推出，再在待证的恒等式的未知数允许值取某特殊值，从而确定常数C。 例12 试证时，。 证明:令时， ， ， 令时，则， 又， 因此时，。 例13 求证 解：， 两边都有是关于X的函数，求导得： ，用常规方法求数列（级数）的和，有时技巧性很高，或者计算十分繁琐，如果借助导数这一工具，常可化繁为简，化难为易。 例14 求。 解：由 ， 即， 对上面恒等式两边取x的导数得 ， 令时， 即所求的和，如果能根据不同的情况，利用不同的二项展开式的微分式，以下一些问题便可仿例证明之： ， ， ，对于一些较复杂的组合问题，用中学传统方法技巧性较高，考虑构造二项式，再求导数能很快地获得解决.如果不是直接告诉我们答案，让我们求证，我们也可以用导数来方便解决一些数列和组合的求和问题，再例如，概率论中研究二项项时遇到计算以下的和的问题。 例15 利用公式推导公式 证明：视a为变量，对的两边求导，得 ，反过来，也可以利用三倍
