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1、高三总复习必修2 4 4万有引力定及其应用宇宙航行 一 开普勒三定律 1 开普勒第一定律 椭圆轨道定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦点上 2 开普勒第二定律 面积定律 对于每一个行星而言 太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 太阳不是椭圆中心 不同行星的半长轴不同 近日点速率大于远日点速率 角速度 加速度也较大 一 行星的运动 3 开普勒第三定律 周期定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 R为椭圆半长轴 T为周期 K与行星无关 大小与中心天体的质量有关有关 中心天体不同k不同 开普勒第三定律适用所有围绕星球运动的行星或卫星
2、 包括绕地卫星的 运动 R 1 绕有两个人造地球卫星 它们地球运转的轨道半径之比是1 2 则它们绕地球运转的周期之比为 对于圆形轨道 半长轴看圆半径 二 万有引力定律内容 1 内容 宇宙间的一切物体都是相互吸引的 两个物体间的引力大小与它们的质量的乘积成正比 跟它们距离的平方成反比 3 引力常量 G 6 67 10 11Nm2 kg2 数值上等于两个质量均为1kg的物体相距1米时它们之间的相互吸引力 2 公式 4 适用条件 1 适用于质点 当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时 物体可视为质点 4 万有引力的适用条件 3 若物体不能视为质点 则可把每一个物体视为若干个质点的集合 然后按定律求
3、出各质点间的引力 再按矢量法求它们的合力 2 当两物体是质量分布均匀的球体时 式中r指两球心间的距离 一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用 其中r为球心到两球心间的距离 5 万有引力的特征 1 普遍性 普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体间的吸引力 是自然界的基本相互作用之一 3 宏观性 通常情况下 万有引力非常小 只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的实际意义 2 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力 符合牛顿第三定律 三 万有引力定律的应用 1 天上 万有引力提供向心力 2 地上 万有引力近似等于重力 重要的近似 3 应用万有引力解决实际问题 当r r0
4、 即贴近被测天体表面飞行 时 有 3 GT2 天体质量和密度的估算 方法一 利用万有引力定律计算中心天体的质量和密度 设中心天体质量为M 绕行天体质量为m 这给我们提供了测量未知天体密度的一种简便方法 只能用于测定中心天体 不能测绕行天体 注意 3 应用万有引力解决实际问题 方法二 利用重力与万有引力近似相等 估算天体的质量和密度 对在天体表面上的物体有 式中g为天体表面的重力加速度 R为天体的半径 四 人造卫星及宇宙速度 1 人造卫星 在地球上抛出的物体 当它的速度足够大时 物体就永远不会落到地面上 它将围绕地球旋转 成为一颗绕地球运动的人造地球卫星 简称人造卫星 2 人造卫星的运动规律 人
5、造卫星运动近似看做匀速圆周运动 卫星运动所需要的向心力就是它所受的万有引力 即 万有引力提供向心力 半径与线速度 角速度 周期 向心加速度的关系 2 宇宙飞船在飞行中需要多次 轨道维持 所谓 轨道维持 就是通过控制飞船上发动机的点火时间及推力的大小和方向 使飞船能保持在预定轨道上稳定运行 如果不进行 轨道维持 由于飞船受轨道上稀薄空气的影响 轨道高度会逐渐降低 在这种情况下飞船的动能 重力势能和机械能的变化情况将会是 A 动能 重力势能和机械能都逐渐减小B 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能保持不变C 重力势能逐渐增大 动能逐渐减小 机械能保持不变D 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能
6、逐渐减小 D 五 宇宙速度 1 第一宇宙速度 V 7 9km s 第一宇宙速度是最小发射速度 最大绕行速度 第一宇宙速度 V1 7 9km s 地面附近 匀速圆周运动 V1 7 9km s 如果人造地球卫星进入地面附近的轨道速度大于7 9km s 而小于11 2km s 它绕地球运动的轨迹不是圆而是是椭圆 2 第二宇宙速度 脱离速度 当物体的速度大于或等11 2km s时 卫星就会脱离地球的引力 不再绕地球运行 成为绕太阳运动的行星或到其它行星上去 我们把这个速度叫第二宇宙速度 达到第二宇宙速度的物体还受到太阳的引力 月球未超越地球的引力范围 发射到月球只要v 10 848km s 不需要达到
7、第二宇宙速度 3 第三宇宙速度 逃逸速度 如果物体的速度等于或大于16 7km s 物体就摆脱了太阳引力的束缚 飞到太阳系以外的宇宙空间去 我们把这个速度叫第三宇宙速度 3 如图是 嫦娥一号奔月 示意图 卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨 进入地月转移轨道 最终被月球引力捕获 成为绕月卫星 并开展对月球的探测 下列说法正确的是 A 发射 嫦娥一号 的速度必须达到第三宇宙速度B 在绕月圆轨道上 卫星周期与卫星质量有关C 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D 在绕月轨道上 卫星受地球的引力大于受月球的引力 C 2 变轨过程中 R增大 机械能增大 动能减小 势能增大 再次实现引力和向心
8、力相等 1 变轨涉及离心向心问题 供给能量 R增大 变轨 4 2011 温州十校联考 嫦娥二号 卫星的成功发射标志着我国的航天事业又向前迈进了一步 嫦娥二号 卫星由运载火箭直接将卫星送入地月转移轨道 令卫星 奔月 时间从13天半缩短至5天 最后稳定在距月球表面100公里的圆形工作轨道上 可以看做近月球卫星 取引力常量为G 下列关于 嫦娥二号 的说法正确的是 A 嫦娥二号 的发射速度一定大于11 2km sB 嫦娥二号 在奔月过程中 地球和月球对卫星的作用力先做正功再做负功C 只要测出卫星的周期就能估算出月球的密度D 只要测出卫星的周期就能估算出月球的质量 C 5 如图所示 在发射地球同步卫星的
9、过程中 卫星首先进入椭圆轨道I 然后在Q点通过改变卫星速度 让卫星进人地球同步轨道 则A 该卫星的发射速度必定大于11 2km sB 卫星在同步轨道II上的运行速度大于7 9km sC 在轨道I上 卫星在P点的速度大于在Q点的速度D 卫星在Q点通过加速实现由轨道I进人轨道II CD 6 发射地球同步卫星时 先将卫星发射至近地圆轨道1 然后在Q点点火 使火箭加速 让卫星做离心运动 进入轨道2 到达P点后 再使卫星加速 进入预定轨道3 轨道1 2相切于Q点 轨道2 3相切于P点 则当卫星分别在1 2 3轨道上正常运行时 以下说法正确的是 A 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B 卫星在轨道3
10、上的角速度小于在轨道1上的角速度C 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 BD 7 如图所示 从地面上A点发射一枚远程弹道导弹 在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B C为轨道的远地点 距地面高度为h 已知地球半径为R 地球质量为M 引力常量力G 设距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T0 下列结论中正确的是A 导弹在c点的速度大于B 导弹在C点的加速度等于GM R h 2C 地球球心为导弹椭圆轨道的 个焦点D 导弹从A点运动到B点的时间 定小于To BCD 5 如图所示 A为静止于地
11、球赤道上的物体 B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星 C为绕地球做圆周运动的卫星 P为B C两卫星轨道的交点 已知A B C绕地心运动的周期相同 相对于地心 下列说法中正确的是A 卫星C的运行速度大于物体A的速度B 物体A和卫星C具有相同大小的加速度C 可能出现 在每天的某一时刻卫星B在A的正上方D 卫星B在P点的加速度大小与卫星C在该点加速度相等 ACD 8 2010 北京理综 一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上 已知万有引力常量为G 若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零 则天体自转周期为 9 中子星是恒星演化过程的一种可能结果 它的密度很大 现有一中子星 观测到它的自转周期为T
12、 130s 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定 不致因自转而瓦解 计算时星体可视为均匀球体 引力常量G 6 67 10 11N m2 kg2 解析 设中子星的密度为 质量为M 半径为R 自转角速度为 位于赤道处的小物块质量为m 则有GMm R2 m 2R 2 T M 4 3 R3 由以上各式得 3 GT2 代入数据解得 1 27 1014kg m3 10 宇航员站在一星球表面上的某高处 以初速度V0沿水平方向抛出一个小球 经过时间t 球落到星球表面 小球落地时的速度大小为V 已知该星球的半径为R 引力常量为G 求该星球的质量M 解 小球做平抛运动如图 则有 设该星球某近地卫星质量为
13、m 其重力近似等于万有引力 由以上两式得该星球的质量 五 同步卫星 通讯卫星 五 同步卫星 通讯卫星 定周期 频率 转速 与地球自转的周期相同 即T 24h 1 特点 定在赤道的正上方某点 相对于地球静止 定高度 到地面的距离相同 即h 3 6 107m 定线速度大小 即V 3 0 103m s 定角速度 与地球自转的角速度大小相同 定向心加速度大小 不同点 由于各国发射的同步卫星质量一般不同 所以它们受到的向心力的大小一般不同 卫星的几个疑难问题解析 1 卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度 2 环绕 运行 速度与发射速度 卫星的几个疑难问题解析 1 卫星绕地球运动的向心加
14、速度和物体随地球自转的向心加速度 卫星的几个疑难问题解析 3 卫星的轨道的圆心可以不是地心吗 卫星的轨道圆心必须是地心 如果圆心不是地心 则F万不在卫星轨道平面内 F万的不在轨道平面内的那个分力将把卫星向地心拉动 这样它的运行将是不稳定的 所以卫星的轨道可以有三种 赤道轨道 极地轨道 任意过地心的轨道 不能发射沿任意纬度圈的卫星 只能发射沿赤道圈的卫星 也不能发射沿经度圈的卫星 4 卫星变轨问题 同一轨道上不可能后面的卫星追前面的卫星 定义 相距较近 仅在彼此的引力作用下绕其连线上某点做匀速圆周运动的两颗恒星称为双星 六 双星问题 答案 4 2r3 T2G 6 双星系统在银河系中很普遍 利用双
15、星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量 已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动 周期均为T 两颗恒星之间的距离为r 试推算这个双星系统的总质量 引力常量为G 特点 双星运动的周期和角速度相同 轨道半径之比 线速度之比等于质量反比 六 双星问题 根据 双星 有共同角速度的隐含条件 及其圆周运动的半径间的关系 建立方程求解即可 解析 设两颗恒星的质量分别为m1 m2 做圆周运动的半径分别为r1 r2 角速度分别为 1 2 根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿第二定律 有Gm1m2 r2 m1 12r1 Gm1m2 r2 m2 22r2 联
16、立以上各式解得m1 m2 12 r1 r2 r2 G 根据角速度与周期的关系知 1 2 2 T 联立 式解得m1 m2 4 2r3 T2G 答案 1 m m23 m1 m2 2 2 m23 m1 m2 2 v3T 2 G 3 暗星B有可能是黑洞 12 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体 探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时 发现了LMCX 3双星系统 它由可见星A和不可见的暗星B构成 将两星视为质点 不考虑其他天体的影响 A B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动 它们之间的距离保持不变 如图4 4 3所示 引力常量为G 由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T 1 可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m 的星体 视为质点 对它的引力 设A和B的质量分别为m1 m2 试求m 用m1 m2表示 2 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v 运行周期T和质量m1之间的关系式 3 恒星演化到末期 如果其质量大于太阳质量ms的2倍 它将有可能成为黑洞 若可见星A的速率v 2 7 105m s 运行周T 4 7 104s 质量m1 6
