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1、1 2015 2016 学年度第一学期末六校联考高三数学 理 试卷 第 卷选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 设全集12 34 5 6 72 3 4 6 14 51 5UMN 则等于 A MN BMN C U C MN D U MC N 2 若 x y满足约束条件 10 0 40 x xy xy 则yxz2的最小值为 A3 B4 C 7 D 2 3 执行如图的程序框图 那么输出S的值是 A2 B 2 1 C1 D1 4 如图 点 A B C是圆O上的点 且 2 6 120ABBCCAB o
2、则 AOB对应的劣弧长为 A 3 B C 2 2 D 2 5 在ABC中 a b c分别为角A B C所对的边 5 4 cos A 2b 面积3S 则a为 A53 B13 C21 D17 6 给出下列命题 若mba 都是正数 且 b a mb ma 则ba 若 xf是 xf的导函数 若0 xfRx 则 2 1 ff一定成立 命题 012 2 xxRx的否定是真命题 1 x 且1 y 是 2 yx 的充分不必要条件 其中正确命题的序号是 A B C D 开始 2 1Sk 2016k 否 1kk 是 输出S 结束 1 1 S S 第 3 题图 第 4 题图 O B C A 2 7 已知双曲线1 2
3、 2 2 2 b y a x C 0 0 ba与抛物线 0 2 2 ppxy的交点为A B 直线AB经过 抛物线的焦点F 且线段AB的长等于双曲线的虚轴长 则双曲线的离心率为 A12 B3 C2 D 2 8 已知定义在R上的函数 当0 2x时 8 11fxx 且对任意的实数 1 22 22 nn x Nn 且2n 都有 1 1 22 x fxf 若方程 log xxf a 有且仅有四个实数解 则实 数a的取值范围为 A 2 10 B 2 10 C 2 10 D 2 10 第 卷非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 把答案填在答题卡中的相应横线 上
4、9 若复数 2 12 bi bR i i 为虚数单位的实部和虚部互为相反数 则b 10 若 n x x 1 3 32 展开式中各项系数和为128 则展开式中 3 1 x 系数是 11 若函数 2 xy与 0 kkxy图象围成的阴影部分的面积 2 9 则k 12 若某几何体的的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 13 圆O中 弦 7 2 ACAB则BCAO的值为 14 已知实数cba 满足0 222 ccba 则 ca b 2 的取值范围是 三 解答题 本大题 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分13 分 已知函数1cossin32cos2 2
5、 xxxxf 且 xf的 周期为 2 当 2 1 2 1 x时 求 xf的最值 若 4 1 2 f 求 3 2 cos 的值 第 12 题图 1 1 正视图1 侧视图 1 1 1 俯视图 3 16 本小题满分13 分 在等差数列 n a中 n S为其前n项和 已知15 2 52 Sa 公比为2的等比数 列 n b满足60 42 bb 求数列 n a和 n b的通项公式 设 n n n b a c 2 求数列 n c的前n项和 n T 17 本小题满分13 分 如图 三棱锥SABC中 SA平面ABC 2ACABSA ACAB D E分别是AC BC的中点 F在SE上 且2SFFE 求证 AF平面
6、SBC 在线段上DE上是否存在点G 使二面角 GAFE的大小为30 若存在 求出DG的长 若不存在 请说明理由 18 本小题满分13 分 椭圆1 2 2 2 2 b y a x C 0 ba的焦距为4 且以双曲线1 4 2 2 x y 的实轴为 短轴 斜率为k的直线l经过点 1 0 M 与椭圆 C交于不同两点A B 求椭圆C的标准方程 当椭圆C的右焦点F 在以AB为直径的圆内时 求k 的取值范围 19 本小题满分14 分 已知数列 n a满足 1 2 1 11 Nnaaa n nn 若 3 1 12nn ab 求证 数列 n b是等比数列并求其通项公式 求数列 n a的通项公式 求证 1 1
7、a 2 1 a n a 1 3 20 本小题满分14 分 已知函数xaxxhln2 当1a时 求 xh在 2 2 h处的切线方程 令 2 2 xhx a xf 已知函数 xf有两个极值点 21 xx 且 2 1 21 xx 求实数a的取值 范围 在 的条件下 若存在 2 2 2 1 0 x 使不等式 2ln2 1 1 1ln 2 0 aamaxf 对任意 a 取值范围内的值 恒成立 求实数 m的 A S B C E F D 第 17 题图 4 取值范围 5 2015 2016 学年度第一学期期末六校联考高三数学 理 答题纸 二 填空题 每题5 分 共 40 分 9 10 11 12 13 14
8、 三 解答题 共80 分 15 本题 13 分 16 本题 13 分 17 本题 13 分 A S B C E F D 6 18 本题 13 分 19 本题 14 分 7 20 本题 14 分 8 2015 2016 学年度第一学期期末六校联考高三数学 理 参考答案 一选择题 每小题 5分 CABC BDBA 二填空题 每小题 5 分 9 3 2 10 21 11 3 12 215 13 2 3 14 3 3 3 3 三解答题 15 1 xxxf2sin32cos 6 2sin 2x 1分 2T 2 2 分 6 sin 2 xxf 3 分 2 1 2 1 x 3 2 63 x1 6 sin 2
9、 3 x 4 分 2 6 sin 23x 5 分 当 2 1 x时 xf有最小值3 当 3 1 x时 xf有最大值2 6 分 2 由 4 1 2 f 所以 4 1 62 sin 2 62 sin 2 所以 8 1 62 sin 8分 而 8 1 26 sin 26 2 cos 23 cos 10分 所以1 23 cos2 23 2cos 3 2 cos 2 12分即 32 31 1 62 sin2 3 2 cos 2 13分 16 解 由 15 2 52 Sa得nan 3分 来 公比为2的等比数列 n b满足60 42 bb 所以 n n b23 6分 来 n c 7分 来 9 则 令 则 9
10、分 来 两式作差得 11分 来 故 13分 来 17 1 由2ACABSA ACAB E是BC的中点 得2AE 因为SA底面ABC 所以SAAE 2分 在Rt SAE 中 6SE 所以 16 33 EFSE 因此 2 AEEF SE 又因为AEFAES 所以 EFAEAS 则90AFESAE 即AFSE 4分 因为SA底面ABC 所以SABC 又BCAE 所以BC底面SAE 则BCAF 又EBCSE 所以AF平面SBC 6分 向量法请酌情给分 2 假设满足条件的点 G存在 并设DGt 10 t 以A为坐标原点 分别以AC AB AS为x y z轴建立空间直线坐标Dxyz 则 0 0 0 A 0
11、 0 2 S 1 1 0 E 1 0 Gt 由2SFFE得 2 2 2 3 3 3 F F 所以 0 1 1 AE 3 2 3 2 3 2 AF 0 1 tAG 7分 A S B C E F D G x y z 10 设平面 AFG的法向量为 111 zyxm 则 由 0 0 AGm AFm 即 0 0 3 2 3 2 3 2 11 111 tyx zyx 取1y得 1 1 ttm 9分 设平面AFE的法向量为 222 zyxn 则 由 0 0 AEn AFn 即 0 0 3 2 3 2 3 2 22 222 yx zyx 取1y 即 0 1 1 n 11分 由二面角GAFE的大小为30 得
12、2 3 30cos 0 nm nm 化简得 2 2520tt 又01t 求得 1 2 t 于是满足条件的点G存在 且 1 2 DG 13分 18 解 1 焦距为4 c 2 2 分 又以双曲线1 4 2 2 x y 的实轴为短轴 b 2 4 分 标准方程为1 48 2 2 y x 5 分 2 设直线l 方程 y kx 1 A x1 y1 B x2 y2 由 1 48 1 2 2 y x kxy 得064 21 22 kxxk x1 x2 2 21 4 k k x1x2 2 21 6 k 7 分 由 1 知右焦点F坐标为 2 0 右焦点F 在圆内部 BFAF 0 9 分 x1 2 x2 2 y1y
13、2 0 11 即 x1x2 2 x1 x2 4 k 2 x 1x2 k x1 x2 1 0 10 分 222 2 21 18 5 21 4 2 21 6 1 k k k k k k k 0 12 分 k 8 1 13 分 19 解 1 2 212 2 1 n nn aa 21 2121 2 2 1 141 n nn aa 2121 1 2121 14 4 33 4 11 33 nn n n nn aa b b aa 3分 11 12 33 ba所以 n b是 首项为 2 3 公比为4 的等比数列 1 2 4 3 n n b 5 分 2 由 可知 121 21 1211 4 21 3333 nn
14、 nn ab 7 分 21212 221 21 2 1 21 1 21 33 nnn nn aa 8 分 所以 1 1 2 1 3 nn n a 或 1 21 2 3 1 21 21 3 n n n nk a nk 9分 3 221 221 1121 2 2 3333 nn nn aa 212 212 221 212221 221221 21221212 1133 2121 3 22 22221 3 22 3 22 222122 nn nn nn nnnn nnnn nnnnn aa 212 11 3 22 nn 11 分 当n 2k时 1234212 111111 kk aaaaaa L 2
15、 232 11 1 1111 22 33 1 2222 1 2 k k L 2 3 33 2 k 当n 2k 1 时 1234232221 1111111 kkk aaaaaaa L 12 1234212 111111 kk aaaaaa L 3 1 a1 1 a2 1 an 3 14 分 20 1 x axh 1 2 1a时xxxhln2 x xh 1 2 2ln4 2 h 2 3 2 h xh在 2 2 g处的切线方程为0142ln223yx 3 分 2 0 121 2 2 x x axax x aaxxf 0120 2 axaxxf 所以 2 11 2 044 21 21 2 a xx
16、xx aa 所以21a 6 分 3 由012 2 axax 解得 a aaa x a aaa x 2 2 2 1 21a 2 2 1 1 112 a x 而 xf在 2 x上单调递增 xf在 2 2 2 1 上单调递增 7 分 在 2 2 2 1 上 2ln2 2 max afxf 8分 所以 存在 2 2 2 1 0 x 使不等式2ln2 1 1 1ln 2 0 aamaxf恒成立 等价于 不 等式2ln2 1 1 1ln 2ln2 2 aamaa恒成立 即 不等式012ln 1ln 2 mamaa对任意的a 21a 恒成立 9分 令12ln 1ln 2 mamaaag 则0 1 g 1 22 12 1 1 2 a amama ma a ag 10 分 当0m时 0 1 22 2 a amama ag ag在 2 1 上递减 0 1 gag 不合题意 13 当 0m 时 1 2 1 1 2 a m ama ag 若 2 1 1 1 m 记 2 1 1 2min m t 则 ag在 1 t 上递减 在此区间上有0 1 gag 不合题意 因此有 1 2 1 1 0 m m 解得 4 1
