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1、1 第二篇机械优化设计第二章优化设计的理论与数学基础 2 1目标函数的泰勒 Taylor 展开式2 2目标函数的等值线 面 2 3无约束目标函数极值点存在条件2 4凸集与凸函数2 5约束极值点条件 2 6优化计算的数值解法及收敛条件 2020 4 23 机械创新设计第二篇 2 二元二次函数 令 则 梯度 验证 二次函数的矩阵表示方法 补充 其中 2020 4 23 机械创新设计第二篇 3 二次函数的矩阵表示方法 补充 例题 将F X x12 2x1x2 x22 8x1 9x2 10写成矩阵表示式 并求其梯度 解 验证 2020 4 23 机械创新设计第二篇 4 2 1目标函数的泰勒 Taylo
2、r 展开式 工程实际中的优化设计问题 常常是多维且非线性函数形式 一般较为复杂 为便于研究函数极值问题 需用简单函数作局部逼近 通常采用泰勒展开式作为函数在某点附近的近似表达式 以近似于原函数 一元函数f x 在x k 点的泰勒展开式 二元函数F X F x1 x2 在X k x1 k x2 k T点的泰勒展开式为 2020 4 23 机械创新设计第二篇 5 矩阵形式 海赛矩阵 即 其中 2020 4 23 机械创新设计第二篇 6 多元函数F X 在X k x1 k x2 k xn k T点的泰勒展开式为 二阶偏导数矩阵 n n阶的对称方阵 同上 一阶偏导数矩阵称为函数在K点的梯度 但其中 2
3、020 4 23 机械创新设计第二篇 7 称为函数在点的梯度 梯度是一个向量 其方向是函数在点处数值增长最快的方向 2020 4 23 机械创新设计第二篇 8 2 2目标函数的等值线 面 2020 4 23 机械创新设计第二篇 9 2020 4 23 机械创新设计第二篇 10 函数的极值与极值点 2 3无约束目标函数极值点存在条件 2020 4 23 机械创新设计第二篇 11 极值点存在条件一元函数的情况极值点存在的必要条件的点称为驻点 极值点必为驻点 但驻点不一定为极值点 极值点存在的充分条件若在驻点附近 2020 4 23 机械创新设计第二篇 12 一 极值存在的必要条件 各一阶偏导数等于
4、零 H 驻点 二元函数的情况 多元函数的情况 2020 4 23 机械创新设计第二篇 13 二 极值存在的充分条件 海赛矩阵H X 正定 点X 为极小点海赛矩阵H X 负定 点X 为极大点海赛矩阵H X 不定 点X 为鞍点 海赛矩阵H X 正定 点X 为极小点 证明 0 处处F X F X 故点X 为极小点 二次型 0 若 2020 4 23 机械创新设计第二篇 14 什么是矩阵正定 负定 不定 若各阶主子行列式均大于零 正定 若各阶主子行列式如下 负定 不是正定或负定 不定 2020 4 23 机械创新设计第二篇 15 2 3无约束目标函数极值点存在条件 H 高等数学 设函数F X F x1
5、 x2 在点X 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 在点X 有F x1 0 F x2 0 令 正定 2020 4 23 机械创新设计第二篇 16 极值存在的必要条件 各一阶偏导数等于零 H 驻点 极值存在的充分条件 海赛矩阵H X 正定 点X 为极小点 各阶主子行列式均大于零 正定 小结 无约束目标函数极值点存在条件 2020 4 23 机械创新设计第二篇 17 例题 试判断X0 24 T是否为下面函数的极小点 解 满足极值存在的必要条件 各阶主子行列式均大于零 H X0 正定X0是极小点 2020 4 23 机械创新设计第二篇 18 例 求解极值点和极值解的极值点必须满足 解此联立方程得
6、 即点为一驻点 再利用海赛矩阵的性质来判断此驻点是否为极值点 2020 4 23 机械创新设计第二篇 19 2020 4 23 机械创新设计第二篇 20 因此 赫森矩阵是正定的 故驻点为极小点 对应于该极小点的函数极小值为由 2020 4 23 机械创新设计第二篇 21 设平面上有点的集合 在该集合中任意取两个设计点x1和x2 如果连接点x1与x2直线上的一切内点均属于该集合 则此集合称为x1ox2平面上的一个凸集 2 4凸集与凸函数 2020 4 23 机械创新设计第二篇 22 凸集的数学定义如下 对某集合内的任意两点x1与x2连线 如果连线上的任意点x均满足x x1 1 x2 则该集定义为
7、一个凸集 2020 4 23 机械创新设计第二篇 23 优化设计总是期望得到全局最优解 局部最优解 全局最优解 2 4 2凸函数 由前局部极小点与全局极小点 2020 4 23 机械创新设计第二篇 24 凸函数函数的凸性 单峰性 最优值 最小值 与极小值是有区别的 在什么情况下极小点就是最小点 极小值就是最优值 函数的凸性 实质就是单峰性 如果函数在定域内是单峰的 即只有一个峰值 则其极大值就是全域内的最大值 则其极小值就是全域内的最小值 2020 4 23 机械创新设计第二篇 25 几何解释 如图所示的一元函数f x 在定义域内任取两点x1与x2 函数曲线上的对应点为K1与K2 连该两点的直
8、线方程设为 如在 x1 x2 内任取一点x 则该点对应的f x 与直线两个函数值之关系为f x 则称f x 为 a b 区间内的凸函数 数学定义 设F x 为定义在n维欧氏空间中一个凸集上的函数 x1与x2为上的任意两设计点 取任意实数 0 1 将x1与x2连线上的内点x表达为 x x1 1 x2 如果恒有下式成立F x1 1 x2 F x1 1 F x2 则称函数F x 为定义在凸集上的凸函数 2020 4 23 机械创新设计第二篇 26 凸函数的判定若函数F x 在凸集上存在二阶偏导数并且连续时 则它在该域上为凸函数的充要条件是 海赛矩阵H x 处处是半正定 各阶主子行列式均大于等于零 若
9、海赛矩阵H x 处处都是正定的 则F x 为严格凸函数 凸函数的基本性质 1 设F x 为定义在凸集上的凸函数 取 为任意正实数 则 F x 也是域上的凸函数 2 设函数F1 x F2 x 为定义在凸集上的凸函数 则两函数之和所构成的新函数F x F1 x F2 x 也必定是域上的凸函数 3 设函数F1 x F2 x 为定义在凸集上的凸函数 对于正实数 0 0 则线性组合F x F1 x F2 x 也是域上的凸函数 2020 4 23 机械创新设计第二篇 27 函数的凸性与局部极值及全域最优值之间的关系 若F x 为凸集上的一个凸函数 则上的任何一个极值点 同时也是它的最优点 2020 4 2
10、3 机械创新设计第二篇 28 例 判别函数在上是否为凸函数 解 利用海赛矩阵来判别 因海赛矩阵是正定的 故为严格凸函数 2020 4 23 机械创新设计第二篇 29 2 5约束极值点条件 P11 94 在约束条件下求得的函数极值点 称为约束极值点 K T条件 约束极小点的必要条件 如果有n个起作用的约束条件 即n个约束函数交于一点 则该点成为约束极值点的必要条件是 该点目标函数的梯度方向应处在由该点的n个约束函数梯度方向所组成的锥形空间内 2020 4 23 机械创新设计第二篇 30 2020 4 23 机械创新设计第二篇 31 2020 4 23 机械创新设计第二篇 32 对于凸规划问题 可
11、行域为凸集 目标函数为凸函数 则局部极值点和全域最优点相重合 但对于非凸规划问题则不然 如图 2020 4 23 机械创新设计第二篇 33 2020 4 23 机械创新设计第二篇 34 例 用条件检验点是否为目标函数在不等式约束 条件下的约束最优点 解 计算诸约束函数值 点是可行点 该点起作用约束函数为 计算点有关诸梯度 2020 4 23 机械创新设计第二篇 35 解得 乘子均为非负 故满足条件 点为约束极值点 参看左图 亦得到证实 而且 由于是凸函数 可行域为凸集 所以点也是约束最优点 代入式 求拉格朗日乘子 2020 4 23 机械创新设计第二篇 36 K T条件只能检验起作用约束的可行
12、点 如下图中X 是约束极值点 但K T条件对它不实用 2020 4 23 机械创新设计第二篇 37 2 6优化计算的数值解法及收敛条件 P11 14 2 6 1数值计算法的迭代过程 选初始点x 0 确定搜索方向S 0 沿S 0 搜索 步长为 0 求得第一个迭代点x 1 基本迭代公式 步长 方向 步步下降步步逼近 2020 4 23 机械创新设计第二篇 38 数值计算法的基本思想及迭代格式 在设计空间从一个初始点x 0 出发 应用某一规定的算法 按某一方向S 0 和步长 0 产生改进设计的新点x 1 使满足F x 1 F x 0 再以x 1 为新起点 仍应用同一算法 按某一方向S 1 和步长 1
13、 产生第二个设计新点x 2 使满足F x 2 F x 1 这样一步一步地搜索下去 依次得设计点x 1 x 2 x 3 x k x k 1 使目标函数值逐步下降 直至得到满足所规定精度要求的理论极小点 x 1 x 0 0 S 0 x 2 x 1 1 S 1 x k 1 x k k S k 迭代格式 2020 4 23 机械创新设计第二篇 39 1 点距准则2 函数下降量准则或3 梯度准则 2 6 2迭代计算的终止准则 收敛准则 2020 4 23 机械创新设计第二篇 40 2020 4 23 机械创新设计第二篇 41 作业 PII 34题2 题7PII 142题1 2020 4 23 机械创新设计第二篇 42 2020 4 23 机械创新设计第二篇 43 2020 4 23 机械创新设计第二篇 44 2020 4 23 机械创新设计第二篇
