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1、惠州市 2015 2016学年第一学期期末考试 高 二 数 学 试 题 理科 2016 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共6页 满分150 分 考试用时120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题 卡上 2 选择题每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液
2、 不按以上要求作答 的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡一并交回 参考公式 最小二乘法求线性回归方程系数公式 n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y xnx a ybx 样本数据 1 x 2 x L n x的方差 22 2 2 1 2 1 xxxxxx n s n 第 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 满分60 分 1 以 1 2 A 5 6 B为直径端点的圆的方程是 A 22 2 4 13xyB 22 2 4 13xy C 22 2 4 13xyD 22 2 4 13xy 2
3、 某人5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为x y 10 11 9 已知这组数据的平均数为 10 方差为 2 则 yx的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 3 以x轴为对称轴 以原点为顶点且过圆0962 22 yxyx的圆心的抛物线的方程是 A 2 3xy或 2 3xyB 2 3xyC xy9 2 或 2 3xyD xy9 2 4 圆 22 2430 xyxy上到直线10 xy的距离等于2的点共有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4个 5 直线1xy被椭圆42 22 yx所截得的弦的中点的坐标是 A 3 2 3 1 B 3 2 3 1 C 3 1 3 2 D 1 2 6 在面积为S的
4、 ABC的边AB上任取一点P 则 PBC的面积大于 4 S 的概率是 A 2 1 B 3 4 C 4 1 D 2 3 7 某初级中学有学生270 人 其中一年级108 人 二 三年级各81 人 现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查 考虑选用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样三种方案 使用简单随机抽样和分层抽 样时 将学生按一 二 三年级依次统一编号为1 2 270 使用系统抽样时 将学生统一随机编 号 1 2 270 并将整个编号依次分为10 段 如果抽得号码有下列四种情况 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180
5、195 200 265 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 关于上述样本的下列结论中 正确的是 A 都可能为分层抽样B 都不能为分层抽样 C 都可能为系统抽样D 都不能为系统抽样 8 命题 0 1 1 x pxe 命题 2 10qxR xx 则下列正确的是 A p q为真B p q为真C p q为假D q为真 9 已知点P在抛物线 2 4yx上 那么点P到点 2 1 Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最 小值时 点P的坐标为 A 1 2 B 1 2 C 1 1 4 D 1 1 4
6、10 下列说法正确的个数有 个 1 命题 指数函数 x ay在Rx上是增函数 的非命题为真时 则1a 2 命题 若2ab 则 a b中至少有一个不小于1 的逆命题是真命题 3 命题 若1 2 x 则11x 的逆否命题是 若11xx或 则1 2 x 4 已知 m nR 则 0m n 是 曲线 22 1mxny为双曲线 的充要条件 A 1 B 2 C 3 D 4 11 已知直线1xy与椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于 A B 两点 若椭圆的离心率为 2 2 焦 距为 2 则线段AB 的长是 A 3 22 B 3 24 C 2D 2 12 空间点到平面的距离定义如下 过空间
7、一点作平面的垂线 该点和垂足之间的距 离即为该点到平面的距离 平面 两两互相垂直 点A 点A到 的 距离都是3 点P是上的动点 满足P到的距离是点P到点A距离的2倍 则 点P的轨迹上的点到的距离的最小值为 A 3 B 3 2 3 C 6 3 D 3 3 第 卷 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 满分20 分 请将答案填在答题卡相应位置 13 现有5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取2 根竹竿 则它们的长度恰好相差0 3m的概率为 14 已知 21 F F是双曲线1 916 22 yx 的焦点 PQ是过焦点 1 F的弦 且P
8、Q的倾斜角为60 那么 22 PFQFPQ的值为 15 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图 已知图甲 中从左向右第一组的频数为4000 在样本中记月收入在1000 1500 1500 2000 2000 2500 2500 3000 3000 3500 3500 4000 的人数依次为 1 A 2 A 6 A 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图 则样本的容量n 图乙输出的S 用数字作答 来源 学 科 网 16 如图 把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴AB分成8等份 过每个分点作x轴 的垂线交椭圆的上半部分于 1234567
9、P P P PP PP七个点 F是椭圆的一个 焦点 则 1234567 PFP FPFP FPFPFP F 输入 126 AAAK S 0 i 2 i AB 4 1 所以概率 4 3 p 7 解析 可以是系统抽样 也可以是分层抽样 为分层抽样 可以是系统抽样 也可以是分 层抽样 为系统抽样 8 解析 命题p 真 命题q 假 故选A 9 解析 过点P 作 PK 垂直于准线 垂足为K 则 PF PQ PK PQ KQ 当且仅当点Q P K 三 点共线时等号成立 此时点P 的坐标为 1 4 1 故选 C 10 解析 1 非命题为 指数函数 x ay在Rx上是减函数 则10a 2 否命题为 若 a b
10、 2 则 a b 都小于 1 为假命题 则逆命题假 3 4 为真 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D D C C B A A C B A D 11 解析 由已知 1 2 2 2 1cba a c e所以 椭圆方程为 1 2 2 2 y x 联立方程组得 3 1 3 4 1 0 BA所以 AB 3 24 12 解析 由 0 3 3 A 并设 0 yxF 则点P到面的距离为 y 点P到的距离是 x 由题意得 222 00 3 3 2 yxx化简得 3624334 22 xxy 求得 33 2 y 所以 y 的最小值为33 二 填空题 每小题5 分 共 20 分 1
11、3 5 1 14 16 15 10000 2 分 6000 3 分 16 35 13 解析 从5 根中选取2 根一共 10 种 满足条件的有 2 5 2 8 2 6 2 9 两种 所以长度恰好相差 0 3m 的概率为 5 1 14 解析 由于22 PFQFPQ 164 QF QF PF PF 1212 a 15 解析 10000 5000008 0 4000 n 6000400010000 65432 AAAAAS 16 解析 由于a2 FP 2 FP FP FP FP FP FP 4536271 并且5a所以357a 三 解答题 本大题共6 小题 满分70 分 解答须写出文字说明 证明过程和
12、演算步骤 17 本小题满分10 分 解 1 方程1 13 22 t y t x 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆 分3013tt 解得 分511t 2 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件 11t 是不等式0 1 1 2 attatat的解的真子集 7 分 法一 因方程0 1 1 2 attatat的两根为a 1 9 分 故只需1a 10 分 法二 令atattf 1 2 因0 1 f 故只需0 1 f 9 分 解得1a 10 分 18 本小题满分12 分 解 1 由表中数据得 1234 2 5 4 x 12284256 34 5 4 y 2 分 4 1 422222 2 2 1 4 4
13、1842 5 34 5 14 6 1234 42 5 4 ii i i i x yxy b xx 5分 34 514 62 52aybx 7分 线性回归方程为 14 62yx 且变量y与x之间是正相关 9分 2 依题意有 14 62144yx 解得 10 x 11分 广告支出费用至少需投入10 万元 12 分 19 本小题满分12 分 解 圆 C 22 40 xyx即 22 2 4xy 圆心为 2 0 半径为2 1 分 设圆M的方程为 222 1 2 xymr 2分 依题意得 222 1 2 2 1 2 2 2 r mr 3分 解得 6 3 2 m r 或 6 3 2 m r 5 分 圆M的方
14、程为 22 19 6 24 xy或 22 19 6 24 xy 6分 法一 显然 1 l 2 l的斜率都是存在的 设 1 lyk xt 则 2 1 lyxt k 7 分 则由题意 得圆心到直线 1 l 2 l的距离均为 22 142 2 22 8 分 2 2 2 2 1 ktk k 2 2 2 2 1 t k 10分 解得1k 11 分 即 2 1t 解得3t或1 12分 法二 设圆C的圆心为C 1 l 2 l被圆C所截得弦的中点分别为FE 则 22142 2 22 CECF 8分 因为 1 l 2 l 所以四边形AECF是正方形 9分 所以 2 2 21 2 ACCE 11分 即 2 1t
15、解得3t或 1 12分 20 本小题满分12 分 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A B C D P E的坐标为 0 0 0 A 3 0 0 B 3 1 0 C 0 1 0 D 0 0 2 P 1 0 1 2 E 从而 2 0 3 0 1 3 PBAC 4分 设PBAC与的夹角为 则 14 73 72 3 cos PBAC PBAC AC与PB所成角的余弦值为 14 73 6 分 由于N点在侧面PAB内 故可设N点坐标为 0 xz 则 1 2 1 zxNE 8 分 由NE面PAC可得 0 2 1 3 01 0 0 1 3 1 2 1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 x z zx zx
16、 ACNE APNE 化简得即 1 6 3 z x 即N点的坐标为 1 0 6 3 从而N点到AB和AP的距离分别为 3 1 6 12分 21 本小题满分12 分 解 1 设抛物线方程为pyx2 2 由已知得 2 22 2 pp 2 分 所以抛物线的标准方程为yx4 2 3 分 因为直线与圆相切 所以ttk k t 21 1 1 22 2 4 分 把直线方程代入抛物线方程并整理得 044 2 tkxx 5 分 由016 2 161616 22 ttttk得0t或3t 6 分 设 2211 yxNyxM 则 4 4 21 21 txx kxx 7 分 22 2121 2 2121 ttxxktxxktkxtkxyy 8分 MON为直角 0ONOM 解得4t或0t 舍去 9 分 3 1 4 1 22 21 2 ttkxxkMN 10 分 点O到直线的距离为 2 1 k t 11 分 71632 34 ttS MON 12 分 22 本小题满分12分 解 1 由 MOF是等腰直角三角形 得c2 b 2 4 a2 8 故椭圆方程为 22 1 84 xy 4 分 2 若直线AB的斜率存在 设AB
