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1、与圆有关的专题综合讲义（六）例1 如图，半径为4的O中直径AB垂直弦CD于E，过C作O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF（1）求证：PD是O的切线；（2）若E为半径 OB的中点，求线段OF的长度例2 如图甲，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角DCE中，DCE是直角，点D在线段AC上（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（O90）后，记为D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=_例3 如图1，在平面直角
2、坐标系中，半径为4的O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；（3）如图2，连接PD，设PAB的内切圆半径为r，求证：例4 如图，已知BC是O的直径，P是O上一点，A是的中点，ADBC于点D，BP与AD相交于点E（1）当BC=6且ABC=60时，求的长；（2）求证：AE=BE（3）过A点作AMBP，求证：AM是O的切线例5 如图，在ABC中，AB=BC以AB为直径作圆O交AC于点D，点E为O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F连
3、接AE、BE，BAE=60，F=15，解答下列问题（1）求证：直线FB是O的切线；（2）若BE=cm，则AC=_cm例6 如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD（1）若C（3，m），求m的值； （2）如图2，连AC，作BMAC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的O1交AC于S，交AB的延长线于T，当O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由例7 如图，E点为x轴正半轴上一点，E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（1，
4、0），E（1，0） （1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC若CQ平分PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值例8 如图，直线AB的解析式为y=kx2k（k0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，ABO=60经过A、O两点的O1与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A（1）求C点的坐标；（2）如图，过O1作直线EFy轴，在直线EF上是否存在一点D，使得DAB
5、的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，连接OO1与O1交于点G，点P为劣弧GF上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧GF运动时（不与G、F两点重合），O1HO1I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围与圆有关的专题综合讲义（六）参考答案与试题解析1如图，半径为4的O中直径AB垂直弦CD于E，过C作O的切线CP交AB的延长线于P，连接DB并延长交CP于F，连接AC，AD，PD，OF（1）求证：PD是O的切线；（2）若E为半径 OB的中点，求线段OF的长度考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定
6、与性质分析：（1）连接OD、OC欲证PD是O的切线，只需证明ODPD即可；通过全等三角形COPDOP（SAS）的对应角OCP=ODP=90来证明该结论；（2）利用等边三角形的判定知ODB和PCD均为等边三角形，然后由等边三角形的“三线合一”的性质、勾股定理求得OF的长度解答：（1）证明：连接OD、OCOC=OD（O的半径），AB是直径，直径AB弦CD（已知），OE是COD的平分线，COE=DOE；在COP和DOP中，COPDOP（SAS），OCP=ODP（全等三角形的对应角相等）；又CP是O的切线，OCP=90（切线的性质），ODP=90（等量代换），点D在O上，PD是O的切线；（2）解：CD
7、AB，点E是OB的中点，OD=BD；又OB=OD，OB=OD=BD，BOD是等边三角形，ODB=60，ODE=BDE=30（等腰三角形的“三线合一”的性质），OD=4，DE=ODsinDOE=，CD=2DE=4；ODP=90，CDP=60；PC、PD是O的两条切线，PC=PD，PCD是等边三角形（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形），CD=PD，点F是PC的中点；在RtCDF中，CD=4，CDF=30，则CF=CD=2（30角所对的直角边是斜边的一半）；在RtOCF中，OF=（勾股定理）点评：本题综合考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质有一内角为60的等
8、腰三角形是等边三角形2如图甲，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角DCE中，DCE是直角，点D在线段AC上（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求的值；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（O90）后，记为D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则=考点：圆周角定理；平行线的判定；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90，DCE是直角，即可得到BCA+DCE=90+90=180；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明RtBCDRt
9、ACE，得到BD=AE，EBD=CAE，则CAE+ADF=CBD+BDC=90，即BDAE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ONBD，AEOM，于是有ON=OM，ONOM，即ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）根据（2）中证明方法，利用四边形内角和得出BD1AE1，进而求出即可解答：解：（1）在一条直线上理由如下：AB为O直径，ACB=90，DCE为等腰直角三角形，ACE=90，BCE=90+90=180，B、C、E三点共线 （2）连接BD，AE，ON，ACB=90，ABC=45，BC=AC，在BCD和ACE中，BCDACE，AE=BD，DBE=EAC，AEB+E
10、BD=90，BDAE，O，N为中点，ONBD，ON=BD，同理：OMAE，OM=AE，OMON，OM=ON，MN=OM，=，（3）成立理由如下：连接BD 1，AE1，ON 1，延长BD1交AE于点F，和（2）一样，易证得BCD1ACE1，E1AC=FBC，BD1C=AE1C，E1FB+AE1C+D1BC+90+D1CB=360（四边形内角和定理），又AE1C+D1BC+D1CB=180，E1FB+90+180=360，E1FB=90，BD1AE1，可得ON1M 1为等腰直角三角形，从而有M1N 1=OM 1故答案为：点评：此题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等
11、的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质3如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点（不与B、C点重合）连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；（3）如图2，连接PD，设PAB的内切圆半径为r，求证：考点：圆的综合题分析：（1）取FG的中点M，连CM，PM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明CM=GM=PM=FM即可；（2）如图1，连PC由三角形垂心的定义推知FEAB首先由全等三角形（ACGAEG）的性质知对应边AC=AE=4；然后根据圆
12、心角、弧、弦间的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质求得BE=EG=84则易求点G的坐标；（3）如图2，作ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QMAP，QNBP，垂足分别为点M、N通过圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系推知点Q即为APB的内心根据内心的定义以及正方形的判定推知四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r；然后根据BPQ的外交定理，等腰三角形的判定求得DQ=DB=4，所以PD=PQ+QD=r+4=（4+r）解答：解：（1）如图1，取FG的中点M，连CM，PMAB是O的直径，ACB=APB=90，BCF=FPB=90CM=GM=PM=FM=EG，即点C、F、P、G到点M的距离
13、相等，根据圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合点C、F、P、G在以点M为圆心，MC长为半径的圆上（2）如图1，连PC点P为弧BC的中点，=，BAP=CAP又APBF，BCAF，AP、BC交于点G，点G为ABF的垂心，FGAB，即GEAB在ACG和AEG中，ACGAEG（AAS）AC=AEAOOC，AO=OC=4，AC=4，AE=4OE=AEAO=44，BE=OBOE=841=CAB=45，=2=45，EG=BE=84，点G的坐标是：（44，84）；（3）证明：如图2，作ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QMAP，QNBP，垂足分别为点M、N=，1=2=45又BQ平分ABP，点Q即为PAB的内心，QM=QN=r，又QMP=QNP=MPN=90，四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r，
