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1、本科毕业论文(设计)题目：高阶微分方程的解法及应用毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅
2、。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表
3、要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目 录摘 要1Abstract2前 言3第一章 高阶微分方程的理论与结构4第二章 高阶常系数线性微分方程62.1 高阶
4、常系数线性齐次微分方程62.1.1 特征根是单根的情况62.1.2 特征根是重根的情况72.2 高阶常系数线性非齐次方程82.2.1 常数变易法82.2.2 比较系数法102.2.3 拉普拉斯变换法112.3 Euler方程13第三章 可降阶的高阶微分方程的解法153.1 形如的高阶方程153.2 形如的高阶方程163.3 形如的高阶方程173.4 恰当导数方程19第四章 高阶微分方程的应用21参考文献25致 谢26 摘 要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线 性微分方程里主要采用了特征根法；在求解
5、非齐次线性微分方 程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce higher-order homogeneous linear
6、differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses the comparison coefficient method,
7、Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more complex higher order dif
8、ferential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described.Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。它的形成与发展是和力
9、学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方
10、程的解，或者化为研究解的性质的问题。人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以运用常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法进行求解。而对于可以降阶的高阶微分方程，我们通常采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶微分方程求解的问题转化成低阶微分方程的求解问题。本篇论文我总结了形如，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题，进而介绍此类问题在科学技术中的应用。第一章 高阶微分方程的理论与结构定义1（
11、方程的阶） 在一个常微分方程里，未知函数的最高阶导数的阶数叫做方程的阶。n阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为定义2（解） 设函数在区间上有直到阶的导数。如果把代入到方程得到在区间上关于的恒等式是则称是方程在区间上的一个解。微分方程的解可以包括任意的常数，其中任意常数的个数可以多到和方程的阶数相等，当然也可以不包括任意常数。我们把方程的含有个独立的任意常数的解称做该方程的通解。如果方程的解不包含任意常数，则把它叫做特解。方程 （1-1）称做n阶线性微分方程，它关于未知函数以及各阶导数都是线性的。在这里，我们通常假设和是区间上的连续函数。如果都是常数，则把方程（1-1）叫做n阶常系数线
12、性方程。如果方程的右端项，即则称方程（1-1）是齐次的，否则为非齐次的。所以对于方程（1-1）的齐次方程是 （1-2）定理1（叠加原理） 设和是齐次方程（1-2）的解，则对于任意常数和，也是方程（1-2）的解。定理2 设是方程的解，则也是方程的解。定理3 设是齐次方程（1-2）的n个线性无关的特解，则是方程（1-2）的通解，其中是任意常数。定理4 设是非齐次线性方程（1-1）的任意一个确定的解，是（1-1）对应的齐次线性方程（1-2）的通解。则 是（1-1）的通解。 第二章 高阶常系数线性微分方程2.1 高阶常系数线性齐次微分方程对于n阶常系数线性齐次方程 （2-1）其中是关于的未知函数，系数
13、是实常数。如果是方程的根，把他代入到方程中，得因为，因此 （2-2）反之，如果满足等式（2-2），则是方程(2-1)的解。式子（2-2）是关于的n次代数方程，则把他叫做微分方程（2-1）的特征方程，它的根就称做特征根。下面根据特征根的不同情形分别进行讨论方程解的情况。2.1.1 特征根是单根的情况定义 我们把称为方程的特征方程，它的根叫做特征根。在这里把叫做待定系数。定理 如果特征方程有个互异的根，则是方程的一个基本解组。特征方程可能有复根，由于他的系数是实的，他的复根一定是共轭成对的出现。即此时在相异特征根中有复数。例如，则也是的根。这两个特征根所对应的解是实变量复值函数例1 求方程的通解。
14、解 特征方程的根是，其中有两个实根和两个复根，但他们都是单根，所以所求方程的通解是在这里是任意的常数。2.1.2 特征根是重根的情况定理 假设方程有互异的特征根，他们的重数分别是，并且，则与他们相对应的的特解是，并且该特解构成在区间上的基本解组。例2 解初值问题解 特征方程是，特征根是所以方程的通解是又因为 根据初始条件，得再解方程组，得于是初值问题的解是2.2 高阶常系数线性非齐次方程对于n阶常系数线性非齐次方程 （2-3）他的通解等于齐次方程的通解再加上加其对应的非齐次方程的一个特解。在上一节中我们知道了怎样求解齐次方程的通解，下面我们主要来研究求解非齐次方程的特解的方法。2.2.1 常数变易法常数变易法 实际上是一种变量变换的方法,在这里我
