《高职应用数学配套教学课件 张国勇课件 高职应用数学 教学课件 作者 张国勇课件 第三节 离散型随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高职应用数学配套教学课件 张国勇课件 高职应用数学 教学课件 作者 张国勇课件 第三节 离散型随机变量及其分布（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节离散型随机变量及其分布 一 随机变量的概念 为方便起见 我们引入大写字母 不同试验的事件 无论事件是数量或不是数量 为了便 和 分别表示出现正面或反面 某种货物进口30 可以取不同的值 所以是变量 分别 例如抛一枚硬币可能出现正面或反面 可用 于用数学的方法处理问题 我们总可以赋予数值表示不 同的事件 吨和出口30吨分别可用 和 表示 显然 这样的 变量取何值是不确定的 取不同值的概率 可能性 一般 定义8 3 1满足以下两个条件的变量称为随机变量 1 变量可以表示样本空间所有的事件 2 变量取何值是随机 不确定 的 但取某一个值的概 率是可确定的 随机变量与一般变量概念的区别在 一般变
2、量取 注 何值是确定的 没有 可能与不可能 取到的问题 而随机 是不同的 按照随机变量取值的特点 随机变量可以分为两类 即离散型随机变量和非离散型随机变量 定义8 3 2如果随机变量 可能取的值是 可数可 为离散型随机变量 抽检产品抽到的次品数 如果随机变量可能取的所有数不可以数不可以列的 寿命 用表示其寿命 则 是一个变量 它可能的取 上的某个数 所以是非离散型随机变量 一区间 则称此变量 列 的 则称 如投掷骰子所列点数 等等 都为离散型随机变量 则称为非离散型随机变量 例如 测试某种电子元件的 值为区间 如果随机变量的可能取值充满某 是该区间上所谓的 连续型随机变量 有关 连续型随机 变
3、量 将在第四节讨论 二 离散型随机变量的分布 1 离散型随机变量分布律 设离散型随机变量X所有可能取的值为 且与其对应的概率 列成下表 此表称为 的概率分布列 可简写为 由概率的定义知道 离散型随机变量的分布列有 以下性质 1 非负性 2 规范性 例8 3 1 摸球试验 一个袋中有7个均匀的小球 其中有2个白球5个红球 从中每次随机取一个 如果每次取出的白球不再放回 求取得红球之前已经取出的白球数的分布律 解设 表示 取得红球之前已经取出的白球数 则 于是 X的分布列为 2 3种常见离散型随机变量的概率分布 1 两点分布 如果随机变量X的分布列为 其中 则称X服从两点分布 或0 1分布 记为
4、它适用于一次试验仅有两个结果的随机 现象 2 二项分布 如果随机变量X可能取值为 它的分布 列为 其中 则称X服从参数为n p的二项分布 记为 二项分布的分布列也可以写为 例8 3 2 射击模型 一射手对某一目标进行射击 一次命中率为0 8 1 求一次射击的分布列 2 求到击中目标为止所需射击次数的分布列 解 1 一次射击是随机现象 设 表示 击中目标 表示 未击中目标 则 所以分布列为 2 射击到击中目标为止射击次数为Y 范围是 所以分布列为 则Y的取值 例8 3 3 传染问题 设某种传染病进入一羊群 已知此种传染病的发病率为2 3 求在50头已感染的 羊群中发病头数的概率分布列 解把观察一
5、头羊是否发病作为一次试验 发病率 不发病率 由于对50头感染羊来说是否 发病 可以近似看作相互独立 所以将它作为50次重复 独立试验 设50头羊群中发病的头数为X 则 的分布列为 例8 3 4某地方的网络不稳定 一次能连接成功的概率是0 2 如果要至少一次连接成功的概率不小于0 9 问至少要进行多少次的连接 因为 所以 求得 解设连接的次数为 例8 3 5 核电站事故概率 假设核电站一年内发生重大事故的概率是0 0001 如果某个国家有100个核电站 问在一年内该国核电站至少发生一次重大事故的概率是多少 解设 表示某年内至少会发生一次重大事故的次数 则所求的概率为 说明 重大事故是小概率事件
6、是 依题意 注 由概率 几乎不会发生的 3 泊松分布 如果随机变量的可能取值为 它的分布列为 其中 为常数 则称 服从参数为 的泊松分布 记为 实际问题中服从泊松分布的随机变量很多 生产的一批布匹上瑕疵的点数 如工厂 电话程控交换机在单位 时间接收到的电话呼唤数等都是服从泊松分布 例8 3 6 服务电话接收次数 某公司的客服电话 解所求的概率为 每分钟接收到的服务请求次数 求一分钟内 请求次数不超过2次的概率 例8 3 7 灾害发生概率 某城市每天发生火灾的 求该城市一天内发生3次或3次以上火 当二项分布中的 较大 概率 较小时 如 或 其中 次数 解由题意知 灾的概率 可以用泊松分布近似表示
7、二项分布 即 例8 3 8 产品检测 某公司生产一种产品300件 根据历史生产记录知废品率为0 01 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少 正品 废品 检验300件产品就 表示检验出的废品 由 数 则有 查泊松分布表得 解把每件产品的检验看作一次伯努利试验 两个结 果表示为 是做300次独立的伯努利试验 用 有 可得 例8 3 9 维修方案模型 设某种汽车品牌的4S店对其已销售的80辆汽车进行保养维修 有两种方案给销售部经理 方案A 由4人维护 每人负责20台 方案B 由3人共同维护80台 设每辆车的故障率为0 01 现在需要考虑哪种方案较好 即出现此种汽车需要维修而得不到维修
8、由于维修人员正忙于其他设备的维修 的概率较小 一时刻发生故障的台数 以 表示事件 第 第1个 解 按方案A 以 及时维修 则80辆中发生故障而 表示 第1个人维护的20辆中同 人维护的 20辆中发生故障不能 不能及时维修的概率为 而 则 用泊松公式近似 于是 按方案B 以 记 80台中同一时刻发生故障的台数 故80台中发生故障而不能及时维修 则 的概率为 用泊松公式近似 于是 对两种方案进行比较 方案B中组成工作小组后 尽 管任务加重 每人平均维护80 3 约27台 且人数减少 但工作效率反而提高了 3 随机变量的分布函数 设为X随机变量 x为任意实数 称 为随机变量 函数 简称分布函数 的概率分布 如果将 看作随机点的坐标 则分布函数 值就表示点 落在 内的概率 且有 定义8 3 3 的 分布函数具有下列性质 性质1对一切 性质2 是x的不减函数 即当 时 性质3 注意 分布列是表示随机变量分布的规律 数是表示随机变量取值的概率 而分布函 二者间有着直接的联系 但概念完全不同 例8 3 10设随机变量 的分布函数为 试求 1 2 3 解
