《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第二节 向量及其坐标表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第二节 向量及其坐标表示法（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 向量的概念 二 向量的坐标表示法 第二节向量及其坐标表示法 第八章向量代数空间解析几何 记为0 其方向不定 如果方向相同 模相等 模等于1的向量称为单位向量 即经平行移动后 两向量完全重合 既有大小又有方向的量 如力 位移 速度 加速度等 这类量称为向量 或称为矢量 向量a的大小称为该向量的模 记作 a 与a同向的单位向量记为a 模等于0的向量称为零向量 两个向量a与b不论起点是否一致 则它们是相等的 记为a b 允许自由移动的向量称为自由向量 一 向量的概念 这就是向量加法的平行四边形法则 这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形 以a b为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图 则
2、由a的起点到b的终点的向量 设有两个非零向量a b 称为两向量a与b的和向量 记为a b 若以向量a的终点作为向量b的起点 也是a与b的和向量 这是向量加法的三角形法则 定义1 b a a b a b 若向量b加向量c等于向量a 从图中可以看出 向量的加法满足交换律和结合律 即 a b b a a b c a b c 根据向量加法的三角形法则 则称向量c为a与b之差 记为c a b c a b a b 是一个非零实数 定义2设a是一个非零向量 则a与 的乘积仍是一个向量 记作 a 且 1 a a 2 a的方向 如果 0或a 0 规定 a 0 数乘向量满足结合律与分配律 即 a a a b a
3、b a a b 其中 是数量 设a是非零向量 由数乘向量的定义可知 且与a同方向 所以有 向量的模等于1 因此任一非零向量a都可以表示为 终点为P x y z 过a的终点P x y z 作三个平面分别垂直于三条坐标轴 则点A在x轴上的坐标为x 在空间直角坐标系中 与x轴 y轴 z轴的正向同向的单位向量分别记为i j k 称为基本单位向量 设向量a的起点在坐标原点O 设垂足依次为A B C 根据向量与数的乘法运算得向量 二 向量的坐标表示法 于是 由向量的三角形法则 有 称a xi yj zk为向量a的坐标表达式 记作 其中x y z称为向量a的坐标 x z A B C Q a i j P O
4、y k 向量的坐标表示法 求向量a的坐标表达式 例1 已知是以A x1 y1 z1 为起点 B x2 y2 z2 为终点的向量 解 A z y x O B a 设 则 为数量 或 例2 已知a 2 1 3 b 2 1 4 求a b a b 3a 2b 解 a b a b 3a 2b 那么它的终点坐标A的坐标就是 ax ay az a的起点放在坐标原点 由两点间距离公式可知 x P Q y R z A O a b 非零向量a与三坐标轴正向的夹角 其中0 0 0 称为向量 的方向角 这三个角的余弦cos cos cos 称为向量a的方向余弦 因为 OPA ORA都是直角三角形 所以 显然有 例3 已知M1 1 2 3 M2 4 2 1 求的模及方向余弦 解 由条件可得 设向量a的两个方向余弦为 求向量a的坐标 可知 例4 解因为 所以 2 4 4 或 2 4 4 因此 求其合力F的大小及方向角 例5 已知作用于一质点的三个力为 F1 i 2k F2 2i 3j 4k F3 j k 解 因为F F1 F2 F3 所以 可得 合力的三个方向角为 查表可得 因此 合力大小的近似值为4 7个单位
