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1、主要内容 定义 第八节拉普拉斯 Laplace 定理 行列式的乘法规则 拉普拉斯定理 行列式的乘法定理 这一节介绍行列式的拉普拉斯定理 这个定理 可以看成是行列式按一行展开公式的推广 首先我们把余子式和代数余子式的概念加以 推广 一 定义 定义9在一个n级行列式D中任意选定k行 k列 k n 位于这些行和列的交点上的k2个元素 按照原来的次序组成一个k级行列式M 称为行列 式D的一个k级子式 在D中划去这k行k列后 余下的元素按照原来的次序组成的n k级行列式 M 称为k级子式M的余子式 从定义立刻看出 M也是M 的余子式 所以 M和M 可以称为D的一对互余的子式 例1在四级行列式 中选定第一
2、 三行 第二 四列得到一个二级子式 M的余子式为 例2在五级行列式 中 和 是一对互余子式 定义10设D的k级子式M在D中所在的 行 列指标分别是i1 i2 ik j1 j2 jk 则M 的余子式M 前面加上符号 后称做M的代数余子式 例如 上述 上述 中M的代数余子式是 中M的代数余子式是 二 拉普拉斯定理 引理行列式D的任一个子式M与它的代数 余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开 式中的一项 而且符号也一致 证明 我们首先讨论M位于行列式D的左 上方的情形 此时M的代数余子式A为 M中的每一项都可写作 其中 1 2 k 是1 2 k的一个排列 所 以这一项前面所带的符号为 M 中的每
3、一项都可写作 其中 k 1 k 2 n是k 1 k 2 n的一个 排列 这一项在M 中前面所带的符号是 这二项的乘积是 前面的符号是 因为每个 比每个 都大 所以上述符号等于 因此这个乘积是行列式D中的一项而且符号相同 下面来证明一般情形 设子式M位于D的第 i1 i2 ik行 第j1 j2 jk列 这里 i1 i2 ik j1 j2 jk 变动D中行列的次序使M位于D的左上角 为此 先把第i1行依次与第i1 1 i1 2 2 1行 对换 这样经过了i1 1次对换而将第i1行换到第 一行 再将第i2行依次与第i2 1 i2 2 2 1行 对换而换到第二行 一共经过了i2 2次对换 如 此继续进
4、行 一共经过了 i1 1 i2 2 ik k i1 i2 ik 1 2 k 次行对换而把第i1 i2 ik行依次换到第1 2 k 行 利用类似的列变换 可以将M的列换到第1 2 k列 一共作了 j1 1 j2 2 jk k j1 j2 jk 1 2 k 次列变换 用D1表示这样变换后所得的新行列式 那么 由此看出 D1和D的展开式中出现的项是一样的 只是每一项都差符号 现在M位于D1的左上角 所以M M 中每 一项都是D1中的一项而且符号一致 但是 所以MA中每一项都与D中一项相等 证毕 定理7 拉普拉斯定理 设在行列式D中 任意取定了k 1 k n 1 个行 由这k行元素 所组成的一切k级子
5、式与它们的代数余子式的乘积 的和等于行列式D 证明 设D中取定k行后得到的子式为 M1 M2 Mt 它们的代数余子式分别为 A1 A2 At 定理要求证明D M1A1 M2A2 MtAt 相同 并且MiAi和MjAj i j 无公共项 因此 为了证明定理 只要证明等式两边项数相等即可 显然等式左边共有n 项 为了计算右边的项数 首先来求出t 根据子式的取法知道 因为Mi中共有k 项 Ai中共有 n k 项 所以 右边共有t k n k n 项 证毕 根据引理 MiAi中每一项都是D中一项而且符号 例3在行列式 中取定第一 二行 得到六个子式 它们对应的代数余子式为 由拉普拉斯定理 D M1A1
6、 M2A2 M6A6 8 6 1 5 18 7 7 从这个例子来看 利用拉普拉斯定理来计算行 列式一般是不方便的 这个定理主要是在理论方面 应用 利用拉普拉斯定理 可以证明 定理8两个n级行列式 三 行列式的乘法定理 其中cij是D1的第i行元素分别与D2的第j列的 对应元素乘积之和 cij ai1b1j ai2b2j ainbnj 证明 作一个2n级行列式 的乘积等于一个n级行列式 根据拉普拉斯定理 将D按前n行展开 则因D 中前n行除去左上角那个n级子式外 其余的n级 子式都等于零 所以 现在来证D C 对D作初等行变换 将第n 1行的a11倍 第n 2行的a12倍 第2n行的 a1n倍加
7、到第一行 得 再依次将第n 1行的ak1 k 2 3 n 倍 第 n 2行的ak2倍 第2n行的akn倍加到第k行 就得 这个行列式的前n行也只可能有一个n级子式不为 零 因此由拉普拉斯定理 C 证毕 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束
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