高等数学 教学全套课件 高职 10 第十章 多元函数微分学

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1、高等数学 第一节多元函数的基本概念 第二节偏导数 第三节全微分及其应用 第四节多元复合函数和隐函数的求导法则 第五节偏导数在几何上的应用 第六节多元函数的极值 1 多元函数的基本概念 2 全微分及其应用 3 多元复合函数和隐函数的求导法则 4 偏导数在几何上的应用 学习重点 第十章多元函数微分学 1 邻域设P0 x0 y0 是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0距离小于 的点P x y 的全体称为点P0的 邻域 记为U P0 即U P0 P PP0 在几何上 U P0 就是xOy平面上以点P0为中心 0 为半径的圆的内部的点P x y 的全体 如果不需要强调邻域半径 则用U P0 表示点

2、P0的邻域 点P0的去心邻域记作U P0 一 区域 第一节多元函数的基本概念 2 区域设D为一平面点集 若有点P的某邻域U P D 则称点P为点集D的内点 若点集D的点都是内点 则称D为开集 例如 点集D x y 1 x2 y2 4 就是开集 设D为一开集 若对D中的任意两点 都可以用完全落在D内的折线连接起来 则称D具有连通性 连通的开集称为区域或开区域 如点集 x y x y 0 及 x y 1 x2 y2 4 都是区域 一 区域 第一节多元函数的基本概念 2 区域若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点 点P本身可以属于D 也可以不属于D 则称P为D的边界点 D的边界点的全体称为

3、D的边界 开区域与其边界的并集称为闭区域 例如 点集 x y 1 x2 y2 4 是闭区域 对于点集D 若存在一个正实数M 使得D内任意两点的距离都不大于M 则称D为有界点集 否则 称D为无界点集 若D为闭区域而且有界 则称D为有界闭区域 例如 点集 x y 1 x2 y2 4 是有界闭区域 而点集 x y x y 0 就是无界区域 邻域 区域等概念可以很容易地推广到三维及以上空间 一 区域 第一节多元函数的基本概念 在实际生活中 经常会遇到多个变量之间的依赖关系 如矩形面积S与它的长x 宽y之间具有关系S xy 这里 当x y在集合 x y x 0 y 0 内取定一对值 x y 时 S的对应

4、值就随之确定 又如圆柱体的体积V和它的底半径r 高h之间具有关系V r2h 这里 当r h在集合 r h r 0 h 0 内取定一对值 r h 时 V的对应值就随之确定 二 多元函数的概念 第一节多元函数的基本概念 定义1设D是xOy平面上的一个点集 若对D中的每一点P x y 变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应 则称z为变量x y的二元函数 或点P的函数 记为z f x y 或z f P 点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 数集M z z f x y x y D 称为该函数的值域 z是x y的函数 有时也记为z z x y 类似地 可定义三元函数u f x y z

5、 及三元以上函数 二元及二元以上函数统称为多元函数 二 多元函数的概念 第一节多元函数的基本概念 定义2设二元函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某邻域内有定义 点P0可以除外 如果点P x y 在该邻域内以任意方式无限趋于点P0 x0 y0 时 对应的函数值f x y 无限接近于一个确定的常数A 则称A是二元函数f x y 当 x y x0 y0 时的极限 记作与一元函数极限的定义相比较 形式上无多大区别 但二元函数的极限过程要比一元函数复杂得多 即点P x y P0 x0 y0 的方式有无穷多种 二元函数极限定义要求点P x y 无论以什么方式趋于点P0 x0 y0 对应的函数值必

6、须无限接近于同一个常数A 因此 如果点P x y 沿两个不同的途径趋于点P0 x0 y0 时 对应的函数值趋于两个不同的常数 则二元函数的极限不存在 三 二元函数的极限 第一节多元函数的基本概念 定义3设函数f x y 在区域 或闭区域 D内有定义 P0 x0 y0 是D的内点 或边界点 且P0 D 若则称函数f x y 在点P0 x0 y0 处连续 若函数f x y 在区域 或闭区域 D内的每一点都连续 则称f x y 在D内连续 或称f x y 是D内的连续函数 若函数f x y 在点P0 x0 y0 处不连续 则称点P0为函数f x y 的间断点 以上关于二元函数的连续性概念 可相应地推

7、广到多元函数上去 性质1 最值定理 在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值 性质2 介值定理 在有界闭区域D上的连续函数 在D上必能取得介于其在D上的最大值与最小值之间的任何值至少一次 四 二元函数的连续性 第一节多元函数的基本概念 1 一阶偏导数的概念一定量的理想气体的体积V与压强p和绝对温度T之间 遵循波义耳 马略特定律 即这三者之间存在如下的函数关系 V RT p 比例系数R是常数 第二节偏导数 一 一阶偏导数 2 一阶偏导数的几何意义函数z f x y 在点P0 x0 y0 处的偏导数fx x0 y0 在数学上反映了z关于自变量x的变化率 在几何上 则是方程为z f x y 的曲面

8、与平面y y0的交线ly 在点P0处的切线P0T与x轴正向夹角 的正切 同理 偏导数fy x0 y0 在数学上反映了z关于自变量y的变化率 在几何上则是方程为z f x y 的曲面与平面x x0的交线lx 在点P0处的切线P0T1与y轴正向夹角 的正切 第二节偏导数 一 一阶偏导数 3 一阶偏导函数如果函数z f x y 在区域D内每一点P x y 处对x或y的偏导数都存在 那么求偏导数的结果还是x y的函数 称为函数z f x y 对自变量x或y的偏导函数 记作有了函数的偏导函数 那么在某点P0处的偏导数就是相应偏导函数在P0处的函数值 在不会引起混淆的地方 也把偏导函数简称为偏导数 第二节

9、偏导数 一 一阶偏导数 4 一阶偏导数的计算例 求z 2x2sin3y的偏导数 Z x 4xsin3y z y 6x2cos3y 第二节偏导数 一 一阶偏导数 二元函数的二阶偏导数用下列记号来表示 同样地 如果函数z f x y 的二阶偏导数还存在一阶偏导数 则继续求一阶偏导数的结果 就称为z f x y 的三阶偏导数 其记号与二阶偏导数类似 第二节偏导数 二 高阶偏导数 依此类推 函数z f x y 的n 1阶偏导数的偏导数 就称为该函数的n阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 定理如果函数z f x y 在区域D内存在连续的一阶偏导数fx x y fy x y 和连续的二阶混合

10、偏导数fxy x y 则在D上另一混合偏导数fyx x y 也存在 且fyx x y fxy x y 第二节偏导数 二 高阶偏导数 对一元函数y f x 我们讨论了函数的微分dy 它与函数的增量 y有关系 y dy o x f x x o x 即函数的微分是函数增量的线性主部 定义如果函数z f x y 在点 x y 处的全增量 z可表示为 z fx x y x fy x y y o 称z f x y 在点 x y 处可微 而将上式中 x和 y的线性项部分称为z f x y 在点 x y 处的全微分 记作dz 即dz fx x y x fy x y y 一 全微分的定义 第三节全微分及其应用

11、自变量的增量 x y又称为自变量的微分 分别记为dx dy 则函数的全微分又可表示为由全微分的定义可见 若z f x y 在点 x y 处可微 则函数在该点的偏导数存在 且由知z f x y 在点 x y 处连续 定理 全微分存在的必要条件 如果函数z f x y 在点 x y 处可微 则函数在该点处必定连续且偏导数fx x y fy x y 存在 一 全微分的定义 第三节全微分及其应用 利用全微分的概念 可进行函数的近似计算 设函数z f x y 在点 x y 处可微 则全增量可表示为 z fx x y x fy x y y o 略去高阶无穷小o 当 x y 充分小时 全增量近似用全微分表示

12、为 z f x x y y f x y fx x y x fy x y y 即有近似计算公式f x x y y f x y fx x y x fy x y y 二 全微分的应用 第三节全微分及其应用 定理如果函数u u x y v v x y 在点 x y 处的偏导数都存在 函数z f u v 在对应点 u v 处偏导数存在且连续 则复合函数z f u x y v x y 在点 x y 处的偏导数存在 并有如下求偏导数的公式 一 多元复合函数的求导法则 第四节多元复合函数和隐函数的求导法则 设y f x 是由方程F x y 0所确定的一元隐函数 在恒等式F x f x 0两边对x求全导数 得F

13、x x y Fy x y dy dx 0 当Fy x y 0时 解得Dy dx Fx x y Fy x y Fx Fy 这样 我们用偏导数给出了一元隐函数的求导公式 同样 设方程F x y z 可确定一个二元隐函数z f x y 在恒等式F x y f x y 0两边分别对x和y求偏导数 得 二 隐函数的求导法则 第四节多元复合函数和隐函数的求导法则 当Fz 0时 解得上式可作为二元隐函数求一阶偏导数的公式 二 隐函数的求导法则 第四节多元复合函数和隐函数的求导法则 设空间曲线 的参数方程为x t y t z t 假设 t t t 都可导 且其导数不全为零 当t t0时 对应于曲线上的定点M0

14、 x0 y0 z0 且 t0 t0 t0 不全为零 在t0处有增量 t 当t t0 t时 对应于曲线上另一点M x0 x y0 y z0 z 则割线M0M的方程为x x0 x y y0 y z z0 z 用 t去除上式各分母 得x x0 x t y y0 y t z z0 z t 仍表示割线M0M的方程 一 空间曲线的切线与法平面 第五节偏导数在几何上的应用 让点M沿曲线 无限趋于点M0 即 t 0 割线开始绕点M0转动 若割线有极限位置M0T 则称M0T为曲线 在点M0处的切线 这时于是 切线方程为其中 切线的方向向量记作T 则T t0 t0 t0 称T为曲线在点M0处的切向量 一 空间曲线

15、的切线与法平面 第五节偏导数在几何上的应用 设曲面 的方程为F x y z 0 点M0 x0 y0 z0 为曲面 上的一点 函数F x y z 在点M0处具有连续的偏导数 且不同时为零 可以证明 在曲面 上作过点M0的任何曲线 如果它们在M0处有切线 则这些切线都在同一平面上 称该平面为曲面 在点M0处的切平面 这时 切平面的法向量n Fx x0 y0 z0 Fy x0 y0 z0 Fz x0 y0 z0 称n为曲面 在点M0处的法向量 所以 曲面 在点M0 x0 y0 z0 处的切平面方程为Fx x0 y0 z0 x x0 Fy x0 y0 z0 y y0 Fz x0 y0 z0 z z0

16、0 二 曲面的切平面与法线 第五节偏导数在几何上的应用 过点M0且垂直于切平面的直线 称为曲面在点M0处的法线 这时 曲面在点M0处的法向量n可作为法线的方向向量 所以法线的方程为x x0 Fx x0 y0 z0 y y0 Fy x0 y0 z0 z z0 Fz x0 y0 z0 特别地 若曲面 的方程由显函数z f x y 给出 函数f x y 在点 x0 y0 处具有连续偏导数 这时曲面 由三元方程f x y z 0所确定 其中F x y z f x y z 曲面 在点M0处的法向量为n fx x0 y0 fy x0 y0 1 所以 曲面在点M0处的切平面方程为fx x0 y0 x x0 fy x0 y0 y y0 z z0 0 法线方程为x x0 fx x0 y0 y y0 fy x0 y0 z z0 1 二 曲面的切平面与法线 第五节偏导数在几何上的应用 定义设函数z f x y 在点 x0 y0 的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内的任意点 x y 有f x y f x0 y0 或f x y f x0 y0 则称f x0 y0 为函数f x y 的极大值 或极小值 而称点 x