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1、 第四节 两类问题 在收敛域内 和函数 本节内容 一 泰勒 Taylor 级数 二 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 一 泰勒 Taylor 级数 其中 在x与x0之间 称为拉格朗日余项 则在 复习 f x 的n阶泰勒公式 若函数 的某邻域内具有n 1阶导数 该邻域内有 为f x 的泰勒级数 则称 当x0 0时 泰勒级数又称为麦克劳林级数 1 对此级数 它的收敛域是什么 2 在收敛域上 和函数是否为f x 待解决的问题 若函数 的某邻域内具有任意阶导数 定理1 各阶导数 则f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f x 的泰勒公式余项满足 证明 令 设函数f x 在点x0
2、的某一邻域 内具有 定理2 若f x 能展成x的幂级数 唯一的 且与它的麦克劳林级数相同 证 设f x 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 则这种展开式是 二 函数展开成幂级数 1 直接展开法 由泰勒级数理论可知 第一步求函数及其各阶导数在x 0处的值 第二步写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间 R R 内 是否为 骤如下 展开方法 直接展开法 利用泰勒公式 间接展开法 利用已知其级数展开式 0 的函数展开 例1 将函数 展开成x的幂级数 解 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 故 在0与x之间 故得级数 例2 将 展开成x的幂级数 解 得级数 其收敛半径为 对任何
3、有限数x 其余项满足 对上式两边求导可推出 例3 将函数 展开成x的幂级数 其中m 为任意常数 解 易求出 于是得级数 由于 级数在开区间 1 1 内收敛 因此对任意常数m 推导 推导 则 为避免研究余项 设此级数的和函数为 称为二项展开式 说明 1 在x 1处的收敛性与m有关 2 当m为正整数时 级数为x的m次多项式 上式就是代数学中的二项式定理 由此得 对应 的二项展开式分别为 例3附注 2 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 例4 将函数 展开成x的幂级数 解 因为 把x换成 得 将所给函数展开成幂级数 例5 将函数 展开成x的幂级数 解 从0到x积分 得 定义且连续
4、 域为 利用此题可得 上式右端的幂级数在x 1收敛 所以展开式对x 1也是成立的 于是收敛 例6 将 展成 解 的幂级数 例7 将 展成x 1的幂级数 解 内容小结 1 函数的幂级数展开法 1 直接展开法 利用泰勒公式 2 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 2 常用函数的幂级数展开式 式的函数 当m 1时 思考与练习 1 函数 处 有泰勒级数 与 能展成泰勒级 数 有何不同 提示 后者必需证明 前者无此要求 2 如何求 的幂级数 提示 作业P2832 2 3 5 6 3 2 4 6 第五节 备用题1 将下列函数展开成x的幂级数 解 x 1时 此级数条件收敛 因此 2 将 在x 0处展为幂级数 解 因此
